Эл математика что это
Перейти к содержимому

Эл математика что это

  • автор:

Значение математики

Математика или математика это дедуктивная наука, которая отвечает за изучение свойств абстрактных сущностей, а также связей и отношений, существующих между ними.

Чтобы узнать происхождение этого слова, мы должны вернуться к латыни, чтобы действительно знать, что корни слова математика происходят от математик, который в то же время рождается из гирего математика что понимается или может быть переведено как «изучение предмета».

Эта наука исходит из аксиом и следует за использованием логических рассуждений; математика изучает отношения и свойства абстрактных объектов, таких как геометрические фигуры, символы и числа.

Использование математики эволюционировало благодаря счетам, расчетам и измерениям, а также систематическому изучению формы и движений физических объектов, однако двумя основными столпами этого являются абстракция и использование логики в рассуждениях, поскольку благодаря им большие успехи были достигнуты в изучении человека во всех отраслях.

Мы знаем, что математика взаимодействует с величинами, то есть с числами, но мы не можем забывать, что она также использует неколичественные абстрактные конструкции, поскольку стремится к развитию практики, и их можно применять в моделях, позволяющих проводить расчеты и измерения на физический план, которые помогают доказать истинность теории.

Для лучшего понимания математики мы можем сказать, что она разделена на четыре большие области или области обучения, в рамках которых мы называем следующие:

  • Арифметика, отвечает за изучение и анализ чисел или количеств.
  • Алгебра, который относится к изучению и анализу структур и отвечает за их изучение.
  • Геометрия, Его цель — изучение и познание сегментов и фигур.
  • Статистика, который отвечает за анализ и изучение собранных данных, которые будут служить в будущем.
  • Арифметика
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Статистика
  • Наука.

Важность математики

Математика тесно связана со всеми видами деятельности, которые мы выполняем изо дня в день, такими как поход в супермаркет и ведение счетов для покупки и оплаты продуктов, а также, когда мы ведем машину, мы должны использовать логику, чтобы правильно управлять автомобилем и избегать несчастных случаев. и не совершать безрассудства.

Кроме того, мы используем математику, когда выполняем упражнения и многие другие виды деятельности, имеющие первостепенное значение, такие как медицина, физика, инженерное дело и другие, что делает эту дисциплину, если не самой важной, то одной из самых важных для человечества, поскольку она имеет позволил ей развиваться и развиваться во всех уже названных областях, поэтому ее изучение и практика рекомендуется для развития предмета как личности и общества как такового.

Математическая причина

Причина в широком понятии, которое можно использовать в различных областях и в разных контекстах нашей повседневной жизни, однако для математики это связь, которая существует или возникает между двумя величинами, которые сравнимы друг с другом.

Когда количество вычитается или делится на другое, этот результат называется отношением.

Примером этого может быть выражение деления как 9/3 = 3, мы говорим, что соотношение 9 на 3 равно 3, что означает, что когда мы делим 9 на 3, соотношение будет 3. И продолжая с Приложение Из математической логики будет правильным сказать, что 3 умножить на 3 будет девять, или что число 9 содержит 3 умноженное на число 3.

Сегодня человечество разработало и использует математику во всем мире, и это важный инструмент во многих или почти во всех областях и областях повседневной жизни, которые были разработаны благодаря использованию, развитию и применению математики, в этих областях мы имеют инженерные, медицинские, естественные, а также социальные науки.

Финансовая математика

Финансовая математика должна рассматриваться как отрасль математической науки, которая занимается анализом всех финансовых операций, что помогает принимать решения при осуществлении инвестиционных или финансовых проектов.

Ввиду своей сложности финансовая математика при выполнении своих функций делит операции на два блока; простой, который имеет дело с одним капиталом, и сложный, известный как рента, который имеет дело с потоками платежей, такими как рассрочка по кредиту.

В этом смысле финансовая математика связана с другими науками, такими как бухгалтерский учет, поскольку ее операции выполняются на основе информации, зарегистрированной в бухгалтерских книгах, а что касается политологии, в силу которой она должна согласовываться с финансовой политикой, проводимой государством. которые влияют на людей, составляющих общество.

Чистая и прикладная математика

Прикладная математика, как указывает этот термин, использует свои инструменты или методы для решения проблем, относящихся к другим наукам или областям. Что касается этого предположения, некоторые методы применяются, среди прочего, в вычислительной технике, биологии, химии, физике, экономике, технике.

Со своей стороны, чистая математика относится к неформальному изучению самой науки без учета приложений, которые могут быть получены или применены, как в случае с прикладной математикой.

Математическая логика

Математическая логика, также известная как символическая логика, состоит из дедуктивной системы утверждений, которая направлена ​​на создание группы законов и правил для определения обоснованности рассуждений. Таким образом, рассуждение считается достоверным, если возможно прийти к истинному выводу из истинных посылок.

По отношению к вышеизложенному, одни рассуждения действительны через другие, они могут быть дедуктивными и индуктивными. Первое, вывод обязательно получается из истинных посылок, а второе — через вероятности.

См. Также логику.

Математическая физика

Это область науки, которая отвечает за изучение, анализ и применение интерфейса между математикой и физикой. То есть это использование или применение математики для решения задач в области физики, что позволяет разрабатывать соответствующие математические методы для них и для развития новых физических знаний, в рамках которых мы можем назвать электричество, магнетизм, аэродинамику а также термодинамика и другие.

МАТЕМАТИКА

— наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что это общее определение М. наполняется все более богатым содержанием.

Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6 -5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Первые задачи механики и физики могли еще удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур. С употребления переменных величин в аналитич. еометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание «воображаемой геометрии» Лобачевского было первым значительным шагом в этом направлении.Развитие подобного рода исследований внесло в М. столь важные новые черты, что М. 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Зарождение математики. Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметич. действий. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее астрономии вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной степени независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематич. развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создается систематич. учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число).оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного чисел относятся к более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого периода. Период элементарной математики заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин.

3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития М. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума нек-рых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 и нач. 19 вв. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображении функциональных зависимостей.

4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста с кон. 18 и в нач. 19 вв. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привел к необходимости углубленного логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие функции комплексного переменного теории, занявшей в нач. и сер. 19 в. центральное положение во всем математич. анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась Лобачевского геометрия.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного исчислений. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировна правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрия, и алгебраич. систем.

Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т. е. критич. пересмотру ее исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приемов, употребляемых при этих доказательствах. Стандарт требований к логич. строгости, предъявляемых к практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий, сложился только к кон. 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логич. строгости доказательств, строения математич. теорий, вопросов алгоритмич. разрешимости и неразрешимости математич. проблем составляет предмет математической логики.

В нач. 19 в. происходит новое значит. расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро растут и математич. запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений обыкновенных, дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики уравнений.

Теория дифференциальных уравнений послужила отправным пунктом исследований по топологии многообразий. Здесь получили свое начало «комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические» методы алгебраической топологии. Другое направление в топологии возникло на почве множеств теории и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологических пространств.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы вероятностей теории. Если в нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 и в нач. 20 вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.

Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с 19 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория (см. Алгебраическая теория чисел, Аналитическая теория чисел, Диофантовы приближения).

Центр тяжести алгебраич. исследований переносится в новые области алгебры: теорию групп, полей, колец, общих алгебраич. систем. На границе между алгеброй и геометрией возникает теория непрерывных групп, методы к-рой позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков гл. образом под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, где сосредоточиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла функций действительного переменного теория.

Практич. использование результатов теоретического математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в кон. 19 и в нач. 20 вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь М.- вычислительную математику.

Отмеченные основные особенности современной М. и перечисленные основные направления исследований М. по разделам сложились в нач. 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 в. Однако потребности развития самой М., «математизация» различных областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит. техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Автоматов теория, Информации теория, Игр теория, Исследование операций, а также Кибернетика, Математическая экономика). На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возник дискретный анализ. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или механич. системами, описываемыми дифференциальными ур-ниями, привели к созданию оптимального управления математической теории.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислит, техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

По материалам статьи А. Н. Колмогорова[1]. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская Энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; [2] Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; [3] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; [4] Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1-3, М.,1956; [5] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970-72; [6] Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; [7] Математика ХIХ века. Геометрия. Теория аналитических функций, М., 19.81; [8] С т р о й к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 3 изд., М., 1978; [9] Марджанишвили К. К., Математика в Академии наук СССР, «Вестн. АН СССР», 1974, № 6; [10] W е у l Н., A Half-century of mathematics, «Amer. Math. Monthly», 1951, v. 58, № 8.

Смотреть что такое МАТЕМАТИКА в других словарях:

МАТЕМАТИКА

Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, . смотреть

МАТЕМАТИКА

I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука), . смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА, -и, ж. Наука, изучающая величины, количественные отношенияи пространственные формы. Высшая м. Прикладная м. II прил. математический,-ая, -ое. Математическая задача. М. ум. (перен.: точный, ясный). смотреть

МАТЕМАТИКА

математика ж. 1) а) Научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. б) Учебный предмет, содержащий теоретические основы данной научной дисциплины. в) разг. Учебник, излагающий содержание данного учебного предмета. 2) перен. разг. Точный, простой расчет.<br><br><br>. смотреть

МАТЕМАТИКА

математика ж.mathematics высшая математика — higher mathematics

МАТЕМАТИКА

математика сущ., кол-во синонимов: 29 • алгебра (3) • аналка (1) • арифметика (5) • вата (9) • вычмат (1) • вышка (23) • вышмат (1) • геометрия (9) • дискран (1) • дискретка (1) • дифгем (1) • дифуры (1) • интуры (1) • ислоп (1) • комбан (1) • комплан (1) • коран (3) • линейка (27) • матика (26) • матлог (1) • матэк (1) • морги (1) • планиметрия (2) • стереометрия (2) • теорвер (1) • топология (1) • урматы (1) • функан (2) • чмо (102) Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин.2013. . Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология. смотреть

МАТЕМАТИКА

Математика — Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, "учусь через размышление", устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путем опыта. М., по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесенной Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдаленного прошлого, когда задачи М. не шли далее практических искусств счета и измерения протяжений. Но уже с IV в. до Р. Х. практическая арифметика, под именем "логистики", и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел. По определению Вильгельма Вундта, вполне выражающему современное состояние М., ее предмет состоит в задаче "подвергнуть исчерпывающему свой предмет исследованию мыслимые формы чистого усматривания, так же как и выполнимые, на основании чистого усматривания, формальные построения понятий, в отношении всех их свойств и взаимных отношений". Это определение отвлечено автором от содержания создавшегося в последнее время, под именем учения о многообразиях, или учения о формах (Mannigfaltigkeitslehre Римана, или Formenlehre Германа Грассмана), самого общего математического учения, в отношении которого все отдельные математические науки являются не более как его специальными ветвями. Содержание названного сейчас общего математического учения с полною ясностью раскрывает также и связь, существующую между М. и другими науками. Выражения "многообразие" и "форма" характеризуют это содержание с двух разных сторон, так как указывают на два необходимых условия, которые должны быть выполнены при всяком математическом исследовании, какой бы предмет оно не имело. Первое из этих условий состоит в наличности многообразия объектов мышления, составляющих известную совокупность; второе — в чисто формальном способе обработки, т. е. в таком, который привлекает к рассмотрению не собственные конкретные свойства объектов мышления, а только одни взаимные отношения последних. Область математического исследования становится таким образом чрезвычайно обширной, способной к распространению даже на формальную часть логики, как на удовлетворяющую указанным условиям и потому вполне готовую к принятию форм математического алгоритма. В настоящее время это принятие есть уже совершившийся факт, представляемый недавно созданными трудами Буля, Роберта Грассмана, Шредера и др. логическим исчислением, или алгеброй логики. Если затем принять во внимание, что все доставляемое опытом может быть сведено на отношения многообразных объектов мышления, то становится необходимым заключить, что всякая опытная наука, по самой своей природе, должна быть доступна формальному, или математическому, способу обработки. Степень же приложимости математической обработки предмета зависит исключительно от чисто внешних условий исследования. "Рациональная, или теоретическая, механика", "небесная механика", "математическая физика", попытки создания "математической химии", "теория вероятностей" и "математическая статистика" дают изложенным сейчас абстрактным заключениям фактическое реальное подтверждение. Развитие математики началось с создания практических искусств счета и измерения линий, поверхностей и объемов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определенного представления единицы и неопределенного представления множества. Затем все последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределенного представления множества определенных представлений два, три, четыре и т. д. до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. Обстоятельством, определившим форму и ход первоначального развития счисления, была коренящаяся в условиях и законах первоначального развития представлений невозможность для первобытного человека в течение значительных промежутков времени отделять числовое представление от конкретного представления содержащей его группы предметов. Счет вначале, вследствие этого обстоятельства, мог быть и был только вещественным. Промежутки времени, необходимые для выделения последовательных числовых представлений, были вообще очень большими, но особенно значительную продолжительность имели они в эпоху развития представлений чисел два, три и четыре. На исключительно большую величину промежутка времени, в продолжение которого выделялось представление числа три, и поэтому вся доступная человечеству область счисления ограничивалась определенными представлениями единицы и два, и неопределенным — множества, указывает факт существования во многих языках двойственного числа. К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы. Половина какого-нибудь предмета могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины; полполовина — на две полполполовины и т. д. до предела, до которого могли доходить требования практической жизни. Вполне характеристичный пример этого образования дробей двоичной системы представляет древнерусская система земельных мер. Землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина (о дальнейшем развитии счисления дробей см. в статье Дроби). Первоначальное разнообразие групп предметов, заимствуемых человеком из окружающей природы для употребления в качестве орудий и средств счета, сменилось, после выделения представления числа четыре, почти исключительным употреблением группы, представляемой пальцами руки, как ближайшей к человеку и постоянно находящейся в его распоряжении. С этого времени дальнейшее развитие счисления так тесно связалось с развитием уменья пользоваться при счете пальцами, что для словесного выражения вновь выделяемых числовых представлений стали в чрезвычайно широких размерах употребляться названия предметов и действий пальцевого счета. После выделения представления числа 5 дальнейшее развитие счисления встретило важное затруднение, состоявшее в невозможности, при выделении следующего числового представления шесть, пользоваться пальцами одной руки, как уже занятыми выражением числа 5. Наблюдения над пальцевым счетом современных дикарей обнаруживают существование и размеры рассматриваемого затруднения в этом и аналогичных других случаях с полною ясностью. После значительного промежутка времени некоторые племена пришли к мысли освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого знака, напоминающего человеку, что число 5 уже получено один раз. Этим знаком бывали: черта, проведенная на песке или красящим веществом на какой-нибудь поверхности, камень, и т. д. Этим приемом была создана пятеричная система счисления в ее примитивном виде счета по пяткам и положено начало развитию письменного счисления. Действительно, употребление для условного обозначения предмета других знаков, чем жесты и звуки, и есть уже письмо в самом обширном значении этого слова (см. Письменное счисление). Последовавшее за введением указанного приема развитие счисления состояло в том, что при выделении, с помощью пальцев одной руки, всех следующих числовых представлений до известного предела, попутно выделялись сперва простые кратные пяти, как основного числа пятеричной системы, а затем и единицы следующих разрядов той же системы вместе с кратными им. Другим средством устранения представившегося затруднения, найденным другими племенами, было употребление при выделении следующих за 5-ю числовых представлений пальцев другой руки. Но когда эти племена, достигнув числа 10, должны были перейти к 11, тогда они опять встретились с затруднением, подобным прежнему и состоявшем в невозможности пользоваться пальцами обеих рук, как уже занятыми выражением числа 10. Те же два средства, как и прежде, послужили и для устранения нового затруднения. Одни из племен, придя к мысли обозначать десяток особым знаком, создали получившую позднее всеобщее распространение десятичную систему счисления; другие, напротив, остановившись на мысли воспользоваться пальцами ног, продолжали развивать счисление в прежнем направлении, пока наконец, достигнув числа 20, не пришли в дальнейшем развитии счисления к созданию двадцатеричной системы, закончившему собой цикл образования пальцевых, или натуральных, систем счисления. Средства, при помощи которых происходило дальнейшее развитие счета, оставались все последующее время в сущности теми же, какими были вначале, изменяясь только более или менее резким образом в своих внешних формах, в зависимости от достигаемых человечеством ступеней развития. Согласно двум главным родам употребляемых средств, счет бывает или вещественным, или мысленным. Первый пользуется или предметами, принадлежащими человеческому телу, главным образом пальцами, или же предметами, посторонними человеку. И в том, и в другом случае счет пользуется употребляемыми им предметами или в их непосредственном виде, или в форме изображений, с течением времени все более и более удаляющихся от оригиналов и кончающих переходом в системы условных знаков, или образованием письменного счета в тесном смысле. Несмотря на свою распространенность в позднейшее время, письменный счет не является единственной формой вещественного счета в его позднейшем состоянии. Другой формой, и притом стоящей гораздо ближе к своему древнему прототипу, является инструментальный счет, пользующийся для своих целей различными более или менее сложными искусственными инструментами или орудиями, начиная с первобытного шнурка с узлами и кончая усовершенствованной счетной машиной последней конструкции. Другой главный вид счета — мысленный — в своей чистой первоначальной форме слагается из операций, совершаемых вне сознания и выводимых перед ним с значительным трудом и в более или менее смутных образах только в позднейшее время, по достижении владеющими им лицами значительно высших ступеней развития. При таких свойствах этого счета об употреблении его в древности мы можем судить только по перешедшим в памятники древней математической литературы результатам его приложения к решению различных задач и вопросов. Недостаток данных истории М. может быть пополнен наблюдениями над феноменальными счетчиками нашего времени. Этим именем обозначаются прежде всего лица, которые, без всякой предварительной подготовки, оказываются в состоянии в поразительно короткие промежутки времени производить очень большие вычисления и решать задачи, которые должны быть признаны совершенно выходящими из круга ведения не только неграмотного человека, но даже и лиц, получивших элементарное школьное образование. Можно указать на обратившего на себя недавно внимание всего образованного мира <i>Жака Иноди</i> и на изученных более или менее обстоятельно <i>Анри Монде</i> во Франции, и <i>Ивана Петрова</i> в России. Наблюдения над этими феноменальными счетчиками дают нам основание думать, что начало употребления мысленного счета восходит к очень отдаленным временам развития счисления. Данных для изучения первоначального развития <i> геометрии</i> наука в настоящее время почти совсем не имеет. Первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы. Но это ознакомление было бы очень поверхностным, если бы к нему не присоединялось с раннего времени воспроизведение образов, представляющихся человеку в окружающем его мире, вызываемое или стремлением к подражанию, или практическими нуждами. Воспроизведение, явившееся результатом первой из этих двух причин, выразилось в первобытных формах живописи и ваяния, и второй — в различных ремеслах и в первобытной форме архитектуры. Но большая часть доставляемых этими средствами геометрических сведений оставалась вне сознания. Прогрессировать в ясности и определенности эти представления едва ли могли ранее эпохи, когда явилась надобность в измерении расстояний, в определении величины земельных участков, в вычислении содержания жидкостей, зерен, плодов и проч. в сосудах и различных помещениях. Употребляемые вначале приемы этих измерений и определений были исключительно эмпирического и индуктивного происхождения. Умозрение стало приводить к сколько-нибудь заметным результатам только значительно позже, и притом первые результаты умозрения в области геометрии могли быть в большинстве случаев только ошибочными. Вполне характерным примером их является имевшее в свое время всеобщее распространение ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Учение это получило очень обширное и притом вполне умозрительное развитие. Площадь какого-нибудь данного четырехугольника вычислялась, напр., как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырехугольника (египетские землемерные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами <sup>1</sup>/<sub>4</sub> периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия). Древнейшим из известных современной науке памятников древней математической литературы является составленный за 1700 лет до Р. Х., по источникам еще более древним, восходящим именно к промежутку 2221-2179 гг. до Р. Х., египетский <i> папирус Ринда</i> (см. Папирусы математические). В таблицах, составляющих его арифметическую часть, исследователь, кроме действий над целыми и дробными числами, встречает еще случаи возвышения в степени, пропорциональное деление, учение о геометрических отношениях и пропорциях в примитивном виде, определение среднего арифметического, задачи, занимающиеся арифметическими прогрессиями, решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Изложение решений вопросов и задач в папирусе Ринда лишено даже намека на что-нибудь подобное объяснению или доказательству. Искомый результат или дается прямо, или вычисляется, как бы по рецепту, в обоих случаях он поверяется, так как уверенность в правильности предписанного решения только при посредстве поверки и может быть достигнута. Такой способ изложения, как свидетельствующий, по меньшей мере, о неясности для сознания найденного решения вопроса, показывает, что вначале исключительно, а позднее во всех более трудных случаях решение задач и вопросов доставлялось феноменальными счетчиками и затем, как умственное наследие, передавалось из поколения в поколение. Методов, которыми бессознательно пользовались феноменальные счетчики при своих решениях вопросов и задач, как показывают наблюдения над людьми этого типа в новейшее время, было два; из них один может быть назван методом попыток. Сущность метода состоит в совершении ряда попыток, имеющих целью достигнуть вполне точного решения вопроса или возможно более к нему приблизиться. Так как для успеха дела число таких попыток должно быть возможно более ограниченным, то прежде чем приступить к ним необходимо определить на основании условий вопроса их низший или высший предел или оба вместе. Затем для первой из попыток, следовательно, в качестве числа, представляющего для всего их ряда точку исхода, или, короче, в качестве исходного числа, берется или один из этих пределов, или число, близкое к нему. Выбор для дальнейших попыток, в случае неудачи первой, чисел в ряду следующих за исходным числом всегда следует принципу удобнейших (главным образом для вычисления) чисел. Оценка делаемых попыток в их отношениях к своей главной цели, т. е. по вопросам о том, доставляется ли ими искомое решение вопроса или, в противном случае, насколько они приближают к этому решению, производится с помощью их поверки условиями задачи; без поверки употребление метода делается совершенно немыслимым. Существенной характеристической чертой метода попыток является его применимость к решению самых разнообразных задач и вопросов как теоретического, так и практического характера. Метод попыток может быть прямым, когда попытки занимаются непосредственным определением искомого числа, и непрямым, когда ими определяется число, находящееся в установленной условиями задачи связи с искомым. Частным случаем метода попыток является метод постепенного образования, или составления искомого числа на основании условий вопроса. В этом методе или все попытки, кроме первой, или некоторая часть их, заменяются рядом изменений, совершаемых или в исходном числе, или в числе, доставленном какой-нибудь из последующих попыток. Изменения эти производятся таким образом, чтобы составляющее их объект число постепенно приближалось к искомому. Приложение этого метода допускается, впрочем, далеко не всеми вопросами, решаемыми методом попыток, а потому он и является не более, как только частным его случаем. Другим, находящимся в распоряжении феноменальных счетчиков, методом был обычно употребляемый в современной науке метод выражения искомого неизвестного в данных задачи. Феноменальные счетчики, а затем обыкновенные, пользовались им для решения вопросов с немногими и простыми условиями, указывающими с полной очевидностью ряд действий, исполнение которых над данными числами приводит к искомому неизвестному. В папирусе Ринда встречается только одно правило, имеющее для области обнимаемых им случаев, хотя и крайне тесной, общее значение. Результат умножения каждой дроби с единицей в числителе на дробь <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, говорит это правило, всегда состоит из <sup>1</sup>/<sub>2</sub> умножаемой дроби и из ее <sup>1</sup>/<sub>6</sub>. Так как изложение этого правила следует непосредственно за рядом примеров, его подтверждающих, то исследователь получает право заключить, что оно было найдено помощью индукции через простое перечисление. По всей вероятности, и все другие правила общего характера в рассматриваемую отдаленную эпоху выводились таким же образом. Представляемые папирусом Ринда геометрические сведения древних египтян стоят на гораздо более низкой степени развития, чем их арифметические знания. Для суждения о качественной стороне дела достаточно заметить, что все употребляемые в нем приемы измерения, как величины земельных участков, так и вместимости житниц, неточны. Притом в первом случае они хотя и имеют умозрительный характер, но на степени развития, не стоящей выше учения о равенстве площадей при равенстве периметров; во втором же случае они являются прямо и грубо эмпирическими. Гораздо более высокое положение, приближающееся до некоторой степени к философскому и научному уровню арифметических знаний, занимает в геометрическом отделе папируса Ринда, по точности результатов и по философскому и научному значению основных идей, статья о вычислении пирамид, как заключающая в себе в примитивном виде учение о подобии треугольников и пользующаяся для определения равенства углов в прямоугольных треугольниках приемами, состоящими в смысле науки нашего времени в определении синусов и тангенсов. Высокой для своего времени степенью точности обладает в папирусе Ринда также и прием вычисления площади круга, состоящий в возвышении в квадрат <sup>8</sup>/<sub>9</sub> его диаметра (см. Квадратура круга). Определенное по этому приему отношение окружности к диаметру равно 3,16. В то же время как и в Египте, или немного позже, математические знания достигли довольно высокой степени развития у жителей Вавилона и Ассирии, у <i>халдеев.</i> Главным источником сведений о том являются таблицы из <i>Сенкере,</i> занимающиеся возвышением последовательных натуральных чисел от 1 до 60 в квадрат и куб и пользующиеся для изображения чисел 60-ричной системой счисления. Кроме того, из сочинений греческих писателей мы узнаем, что учение о пропорциях было принесено Пифагором в Грецию из Вавилона. Не имея таким образом оснований для суждения об объеме и свойствах математических знаний халдеев, мы можем указать, как на единственную известную нам черту различия между ними и знаниями египтян — на характер приложений тех и других. Египетские математические знания прилагались к решению вопросов, имеющих практическое утилитарное значение, напротив, халдейские — главным образом преследовали мистические цели и служили для предсказаний будущего. Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всем человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретенных человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретенных человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершенного цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках. Усвоение приобретенных человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до Р. Х., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремеслам и искусствам. В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до Р. Х., <i>Фалеса Милетского</i> на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесенные им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: <i>Пифагор, Ойнопид Хиосский</i> и <i>Демокрит</i> <i>из Абдеры.</i> Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе еще до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до Р. Х., представляемого этою школой религиозного братства, ее математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации. Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были <i>Архитас Тарентский, Эвдокс Книдский </i>и <i>Архимед.</i> В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец <i>Гиппократ Xиoсский.</i> Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трех знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная <i>Гиппократом Хиосским.</i> С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих ученых, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к еще более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период. Период усвоения греками математических знаний, приобретенных человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности <i>Платона,</i> который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской М. что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже еще ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведет его, пока находит в своем распоряжении необходимые средства. Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности ее методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места ее основным положениям, на приведение приобретенных ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но еще не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведенного им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остается ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его дает. Таким писателем является Эвклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определенным образом, эти определения представляются в следующем виде. Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование <i>D.</i> Доказательство: <i>D</i> существует, если <i>С</i> существует; <i>С</i> существует, если <i>В</i> существует; <i>В</i> существует, если <i>А</i> существует, но существование <i>А</i> есть уже доказанная истина, следовательно, и существование <i>D</i> доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, т. е. если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более легким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более легкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределенность его выражения и не дает для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придется заключить, что путем горького опыта они должны были придти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на нее надежд. Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего. Об апагогическом методе. или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза дает Прокл, при своем приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого. Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Ученые математики, принадлежавшие к Академии во все время ее существования, распадались на две группы: на ученых, получивших свое математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали <i>Теэтет Афинский, Леодамас Тазосский, Архитас Тарентский</i> и позднее <i>Эвдокс Книдский; </i>к числу вторых — <i>Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи,</i> братья <i>Менехм</i> и <i>Динострат,</i> и во время старости Платона <i>Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский</i>, <i>Филипп из Менде</i> и <i>Филипп из Опуса. </i>В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперед мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал свое развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: <i>Леоном,</i> в начале существования Академии, и <i>Теюдием из Магнезии</i> в конце жизни Платона. "Элементы" Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности ее решения, а также в первом случае и в определении числа ее различных решений. Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности <i>Автолик из Питаны</i> и <i>Аристей Старший.</i> Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для нее истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, <i>Аристотелем,</i> школа перипатетиков в лице двух своих представителей, <i> Эвдема Родосского</i> и <i>Теофраста Лесбосского.</i> Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих ученых заключается все крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до Р. Х., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трех первых из них: <i>Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа</i> и <i>Птолемея Эвергета, </i>привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой ученой и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были <i>Эвклид, Эратосфен </i>и<i> Аполлоний Пергейский.</i> Написанные Эвклидом "Элементы" геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: "Восемь книг о конических сечениях", заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками. Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергейского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, <i>Архимед. </i>Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследования. смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., эл. смотреть

МАТЕМАТИКА

греч. . от . – знание, наука) – наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и основной предмет M. составляют количественные и пространственные отношения и формы. "Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и переменные величины. " (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1957, с. 37). Если, напр., социолог интересуется ростом народонаселения с течением времени, а физик изменением давления газа в связи с изменением температуры, то математик видит здесь только функциональную зависимость числа у от числа х. Кроме количеств. и пространств. отношений и форм, в М. изучаются др. отношения и формы, в частности в математической логике – формы логич. вывода, в геометрии – n-мерные пространства, которые, конечно, не являются пространств. формами в обычном смысле слова, но имеют прообразы в действительности, напр. в виде множества всех возможных состояний той или иной механич. системы (т.н. фазовое пространство системы). В общем, в предмет М. могут входить любые формы и отношения действительности, к-рые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основание для чисто логич. развития теории. Кроме того, в М. рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные определяемые на основе уже известных форм и отношений. Именно так появились "мнимые" числа, "воображаемая" геометрия Лобачевского и др.; причем сами термины "мнимое", "воображаемая" подчеркивают, что речь идет о мыслимых объектах, реальный смысл к-рых выяснился не сразу. В наст. время определение новых объектов математич. теорий стало столь обычным делом, а способы их истолкования настолько развиты, что разделение их на действительные и лишь логически возможные по большей части утрачивается. Тут имеется переход – через ряд абстракций и определений – от понятий, реальный смысл к-рых очевиден (напр., целое число), к таким, к-рым не удается дать наглядной интерпретации (напр., нек-рые понятия множеств теории). М. может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т.е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений, т.к. форма есть система отношений частей целого, а отношения в М. всегда фигурируют как система отношений между к.-л. абстрактными объектами. Если две системы А1 и А2 таковы, что объекты и отношения одной можно сопоставить с объектами и отношениями другой так, что объектам из А1 находящимся в данном отношении, всегда отвечают объекты из А2, находящиеся в соответств. отношении, и обратно, то такое сопоставление наз. изоморфизмом, а системы – изоморфными. То общее, что есть в изоморфных системах, и есть "чистая" форма. Соответственно М. рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений). Но это вовсе не значит, что эти формы всегда имеют внешний или чисто количеств. характер; напр., симметрия кристаллич. решетки (определяемая математически) является существенной качеств. ее характеристикой. О с о б е н н о с т и М. 1. Форма, отвлеченная от содержания, выступает как самостоят. объект, так что непосредств. предметом М. оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрич. фигуры, а не реальные тела и т.п. В природе есть, напр., тела более или менее шарообразной формы, но шарообразная форма, взятая сама по себе, превращается в идеальный объект – геометрич. шар; в природе есть разнообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в М. как идеальный объект – функция, и т.д. Абстракции и идеализации есть и во всякой др. науке, но там им не придается такого самодовлеющего значения, они всегда сверяются с действительностью. М. же абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, а сравнение их с действительностью есть задача не самой М., а ее приложений. Поэтому в М. не заботятся, напр., о том, что не только практически невозможно абсолютно точное измерение, но что и не существует абсолютно точных значений реальных величин. За нек-рыми пределами уточнения количеств. изменения влекут качественные, и данная величина теряет смысл, тело оказывается состоящим из атомов, давление газа – из ударов молекул и т.д. Но такой "переход количества в качество" зависит от природы величины, а раз в М. отвлекаются от этой природы, то в ней этот переход исчезает. Величина, взятая в отвлечении от содержания, величина в о о б щ е, естественно, мыслится как абсолютно точная, как допускающая неограниченно уточняющееся измерение. Точно так же, хотя совр. физика установила, что реальное пространство не является точно эвклидовым, никто не считает от этого эвклидову геометрию как математич. теорию неточной или нестрогой. Ее строгость и точность определяются соответствием ее выводов осн. посылкам, закрепленным и выраженным в аксиомах. 2. Результаты М. – теоремы – получаются путем логич. вывода из осн. понятий и посылок, ссылка на опыт не считается математич. аргументом (математич. выкладки суть не более как концентрированные в символич. форме логич. выводы). Это, так же как предыдущая особенность М., вовсе не означает, что М. не заимствует свои понятия из опыта и что она не имеет отношения к действительности. Но М. исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится в их определении. Поэтому естественно, что в М. ее результаты получаются путем логич. выводов из самих этих определений, из самих понятий о соответств. формах, так что чистая М. имеет чисто дедуктивный, умозрит. характер. 3. Отличительной особенностью М. является непреложность ее выводов. Логически допустимо нарушение законов физики, но невообразимо, чтобы, напр., дважды два не было четыре. Эта непреложность выводов М. объясняется не более как их логич. связью с принятыми посылками. Они логически необходимы лишь постольку, поскольку приняты посылки. "Дважды два – четыре" следует из определения умножения. Следовательно, во-первых, указанная особенность М. вытекает из предыдущих, а во-вторых, она относительна: вывод обязателен лишь постольку, поскольку приняты его основания. 4. Для М. характерно наличие ряда ступеней абстракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся. Уже понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел, о любом вещественном числе суть результаты ряда абстракций; затем уже внутри самой М. возникли понятия комплексного и, далее, гиперкомплексного числа. Аналогично возникли понятия о неэвклидовых и многомерных пространствах и др. Для совр. М. вообще характерно сознат. введение новых понятий на базе уже имеющихся. Эта черта М. естественно связана с ее основной, определяющей особенностью, потому что, во-первых, достаточно полное отвлечение тех или иных форм и отношений от содержания происходит не сразу, а через ряд абстракций, а во-вторых, придавая своим понятиям самодовлеющие значения, М. уже тем самым делает их основанием для образования новых понятий, для новых ступеней абстракции. 5. Особенностью М. является также универсальность ее применений. В любой области, где только удается поставить задачу математически, М. дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. Мы одинаково считаем любые предметы, лишь бы они были строго разграничены. Одни и те же уравнения могут описывать совершенно разные по существу явления. Т.о., в абстрактности М. заключается ее сила: чем больше отвлечение от содержания, тем шире возможности приложений. Но по той же причине универсальность приложений М. не абсолютна, а относительна: правомерность ее применения в данной области, к данной задаче должна быть обоснована анализом содержания. 6. М. занимает особое положение среди других наук, т.к. исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или к общественным наукам. Тем не менее М. зародилась из практики как естеств. наука и только в результате достаточно длит. накопления знаний, выяснения понятий и связей между отд. результатами превратилась в "чистую" М., дальнейшее развитие к-рой, продолжая идти в тесной связи с естествознанием, включало существенное расширение ее предмета, восхождение к более высоким ступеням абстракции. Так, если у Эвклида имеются в виду геометрич. объекты в их обычном наглядном, хотя и отвлеченном от материального содержания, смысле, то теперь в основаниях геометрии говорят о "любых объектах", лишь бы они удовлетворяли соответствующим аксиомам. Словом, отвлечение от содержания исследуемых М. форм и отношений шло постепенно и продолжается. Хотя определения математич. понятий все более уточняются, они не становятся абсолютно точными; математич. точность и строгость выводов также развивается, и то, что считалось строгим прежде, уже не считается таким теперь. В этом отношении хорошим примером может служить арифметика. Предмет ее составляет система натуральных чисел 1, 2, 3. с их отношениями: большего к меньшему, суммы к слагаемым и т.д. Отд. число само по себе не имеет свойств; если мы спрашиваем о свойствах, напр., числа 6, то замечаем, что 6=5+1, 6=2?3 и т.п., так что свойства данного числа состоят в его отношениях к др. числам. Отношения же эти суть отвлеченные образы реальных количеств. отношений между совокупностями предметов. Каждое отд. число ("два", "пять" и т.п.) есть свойство совокупности предметов – общее у совокупностей, предметы к-рых можно сопоставить по одному, и различное у таких, для к-рых такое сопоставление невозможно. Наличие такого свойства устанавливалось в процессе практич. счета предметов. Первоначально число определялось сравнением с к.-л. конкретным предметом (напр., "пять" – "рука"). Первая ступень абстракции состояла в отвлечении от такого конкретного предмета, когда число выделилось как свойство совокупности; так, говорили: "три камня" и т.д. Следующая ступень абстракции состояла в том, что появилось понятие о числах самих по себе, без связи с к.-л. предметами; числа выступили как самостоятельные идеальные объекты. (Ср. образование понятий о др. свойствах, напр.: "как уголь", "черный", "чернота"; здесь грамматич. форма существительного придает свойству характер самостоят. объекта.) Одновременно возникали действия над числами как абстрактное отображение реальных действий над совокупностями предметов; напр., умножение происходит из счета совокупностями по два, по три и т.п. В процессе практич. счета люди открывали не только связи между отд. числами, но и общие законы, как, напр., то, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Так формировалась система чисел. История ее фактич. возникновения служит прямым подтверждением правильности материалистич. понимания М. Материализм признает как факт идеальный характер непосредственного объекта арифметики, но, в противоположность идеализму, признает также, что ". идеальное есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней" (Маркс К., Капитал, т. 1, 1955, с. 19). В становлении арифметики важную роль играло введение обозначений для чисел. Они позволили оперировать с числами, лежащими за пределами наглядного представления. Как понятие вообще выражается словом, так отвлеченное число – словом или знаком. Как "язык есть непосредственная действительность мысли" (Маркс), так и математич. обозначения есть "непосредственная действительность" математич. абстрактных понятий. Следующая ступень абстракции состояла в образовании понятия о любом целом числе вообще, в отвлечении от практич. ограниченности счета и, следовательно, в осознании потенциальной возможности неогранич. продолжения числового ряда, закономерности к-рого, естественно, выводятся логически из понятия об этом ряде как бесконечной последовательности, образуемой с помощью единств. операции – прибавления единицы. Так, арифметика как искусство счета переросла в теоретич. арифметику, что знаменовало возникновение чистой, дедуктивной М. Следующая ступень абстракции, ясно выявившаяся лишь в 19 в., состояла в формировании понятия о множестве всех целых чисел, к-рое мыслится как целое (как актуальна я бесконечность, в отличие от потенциальной бесконечности неограниченно продолжаемого ряда чисел; см. Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости). Такое понимание бесконечности натурального ряда послужило естеств. основой для введения существенно нового понятия трансфинитных порядковых чисел, на основе к-рого, в свою очередь, метод математич. индукции был дополнен новым методом доказательства и определения, т.н. трансфинитной индукцией (см. Математическая индукция). Далее были подвергнуты более глубокому анализу самое понятие о целом числе и логич. средства теоретич. арифметики. Р а з в и т и е М. История М. делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восходит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно М. – превращения накопл. знаний в науку – следует считать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае – правил решения арифметич. задач и определения простейших площадей и объемов; само слово "геометрия" означает "землемерие"). Это произошло в 3–2-м тысячелетиях до н.э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В то время математич. правила формулировались на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математич. знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретич. способы вывода новых результатов, складывались первые математич. доказательства. В конечном итоге это привело к качеств, скачку: сложилась "чистая" М. с ее дедуктивным методом. Конечно, этот "скачок" был достаточно длительным. Насколько известно; это произошло в 7–5 вв. до н.э. в Греции, куда математич. знания перешли из Египта. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Фалесом. В 5 в. до н.э. появляется систематич. изложение геометрии, тогда же Демокрит дал глубокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее за ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. М, Это логич. построение, явно выходившее за пределы эмпирически данного, очень четко обозначало окончат, оформление чистой М. (Следует различать знание математич. фактов от установления их логич. доказательств. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника, было известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана.) Принципиальное значение для развития М. имело появление понятия о бесконечности, к-рое играет в М. такую роль, что М. порой даже определяют как "науку о бесконечности". Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло также представление о неогранич. делимости геометрич. фигур. Непрерывное, первоначально не подвергавшееся анализу, выступает как неограниченно делимое, содержащее неогранич. число частей, точек, моментов. [Дальнейшее развитие М. идет в следующих направлениях: 1) накопление новых результатов в рамках уже определившихся понятий; 2) расширение предмета М., включение в него новых форм и отношений и, следовательно, формирование принципиально новых понятий; 3) изобретение новых методов решения задач и доказательства теорем; 4) восхождение к более высоким абстракциям и более широким обобщениям; 5) углубление осн. понятий. Соответственно, развитие М. не сводится к количеств, росту, но включает качеств, изменения, связанные с существенным расширением ее предмета и образованием новых понятий и теорий. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опровергает геометрию Эвклида, но обе теории включаются в нек-рую общую систему. В этом состоит одно из своеобразий развития М. Развитие М. идет как под влиянием др. наук и техники, так и "внутренним" путем. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние др. наук и – гл. обр. через них – практики. Если последовательность развития определяется объективной логикой предмета М., то скорость его определяется обществ, условиями. ] Первый этап развития "чистой" М. после ее оформления в 7–5 вв. до н.э.– это эпоха элементарной М. Она продолжается до 17 в. и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греч. М.) характеризуется глубоким развитием и господством геометрии, к-рую греки подвели вплотную к аналитич. геометрии и интегральному исчислению; второй – характеризуется, преимуществ, развитием элементарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Ср. Азия, страны арабского Востока, Зап. Европы) и завершается, когда Декарт ввел совр. алгебраич. символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адэкватную ее содержанию. Следующий этап в развитии М. охватывает период с начала 17 в. до сер. 19 в. Его обычно определяют как эпоху переменных величин, тогда как элементарную М. определяют как науку о постоянных величинах и простейших геометрич. фигурах. Такое определение неточно. Скорее элементарную М. нужно определять как к о н с т р у к т и в н у ю М. В ней изучаются не только связи между постоянными, но и между переменными величинами, т.е. функции (зависимость площади круга от радиуса, синус угла и т.п.), кривые линии и поверхности; используется, по существу, понятие предела (напр., при определении длины окружности). Все это было в греч. М. Но при этом речь шла о конструктивно заданных фигурах и функциях, об о п р е д е л е н н о м процессе приближения к пределу. Общие же понятия кривой, функции, предела в элементарной М. просто отсутствуют. У греков кривая, не заданная определенным геометрич. построением, считалась "механической". Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего именно в том, что в предмет М. были включены зависимости между переменными величинами вообще, появилось соответственно общее понятие функции и возник аппарат исследования функций (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды), т.е. возникла теория функций – анализ бесконечно малых. Создание анализа подготовлялось с нач. 17 в. в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейбницем. Это новое направление М. имело три источника. Первый составляло изучение движения, зависимостей между переменными в природе (астрономич. законы Кеплера, законы падения, открытые Галилеем, и др.). Решающее влияние задач механики на развитие анализа видно из след. примера. Второй закон динамики в формулировке самого Ньютона утверждает, что изменение количества движения пропорционально силе; но это "изменение" есть производная по времени, так что закон приобретает точную форму, только если ввести понятие производной. Для определения же движения по его "изменению" необходимо интегрирование. Поэтому Ньютон, можно сказать, был вынужден изобрести анализ, чтобы дать общие методы формулировки законов и решения задач механики. Второй источник представляла геометрия с ее задачами вычисления площадей и объемов и проведения касательных. Третий – алгебра, дававшая удобную символику и формальный аппарат, приведший, напр., к представлению функций в виде рядов. Метод координат связал геометрию с алгеброй (Декарт, 1637), а затем и с анализом – кривые задаются функциями, функции изображаются кривыми. Этот синтез сыграл важную роль в становлении и развитии как анализа, так и геометрии. Предметом этой последней также становятся любые (достаточно "гладкие") кривые. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное развитие математич. анализ. Его идеи и методы проникли в более старые области М. (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его приложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия). Выяснение основ анализа (общее определение функции, теория пределов и др.) совпало с началом следующего периода в развитии М. Следующий этап длится с 1-й пол. 19 в. до сер. 20 в. и характеризуется тем, что в предмет М. включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространственными и количественными в первоначальном смысле слова, причем нек-рые из этих форм и отношений определяются внутри самой М. Одновременно интенсивно развиваются и подвергаются воздействию новых идей ранее определившиеся области М. В результате всего этого М. превращается из науки о количеств. и пространств. отношениях и формах, какой она была прежде, в науку о логически возможных чистых формах только сходных, вообще говоря, с количественными и пространственными. Этот переворот идет неск. путями. Появляется неэвклидова геометрия (Лобачевский, 1826; Я. Бойай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отд. свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных "геометрий" – теорий возможных, формально сходных с пространственными, форм и отношений. Из них важнейшие: риманова геометрия (Б. Риман, 1854) и топология. Полученная на пороге 19 в. геометрич. интерпретация введенных еще в 16 в. мнимых (точнее – комплексных) чисел сняла с них покров таинственности и дала толчок дальнейшему расширению понятия числа и величины (гиперкомплексные числа, векторы, тензоры и др.), а также созданию новой области анализа – теории функций комплексной переменной. Одновременно (начиная от Э. Галуа) складываются совершенно новые направления алгебры: теория групп и др. алгебраич. систем. Каждая такая система есть множество к.-л. элементов, между к-рыми имеются отношения, формально сходные с отношениями между числами (между слагаемыми и суммой, сомножителями и произведением, отношение порядка "больше" – "меньше" и др.). Алгебра из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений превратилась в науку о любых таких системах. В этот же период идет бурное развитие сохраняющего свою центр. роль в М. математич. анализа, а также уточнение его осн. понятий: предела, функции переменной (т.е. произвольного вещественного числа). Ставшие общепринятыми к 1870 представления, что "числовая прямая" должна рассматриваться как множество чисел, а любая геометрич. фигура как множество точек, привели к созданию Кантором теории множеств, в т.ч. специально теории точечных множеств, оказавшей громадное влияние на М. Во-первых, на почве теории точечных множеств были обобщены осн. понятия анализа (функция, производная, интеграл и др.), вошедшие затем в аппарат теорий, непосредственно связанных с приложениями (напр., теории дифференц. уравнений), а также в геометрию, где теперь исследуются фигуры гораздо более общие, чем прежде. Во-вторых, теория множеств породила в М. общую теоретико-множественную т. зр., согласно к-рой всякий объект М. трактуется как множество каких-то элементов, в к-ром имеются те или иные отношения (между элементами, между элементами и подмножествами – частями этого множества, между подмножествами). Пространство определяется как множество точек (тогда как, напр., Риман определял его как "протяженность"); область изменения переменной – как множество ее допустимых значений; функция может быть определена как множество упорядоч. пар (значение х и соответствующее значение у) и т.д. Это придало М. б?льшую ясность и единообразие и облегчило точные определения вновь вводимых понятий. Вершиной рассматриваемого этапа в развитии М. явился функциональный анализ, возникший в начале 20 в. В нем соединились идеи и методы совр. анализа, геометрии и алгебры. Он дал новую постановку многим задачам теории функций, теории дифференц. и интегр. уравнений и вариационного исчисления, открыл новые сильные методы их решения и явился адекватным аппаратом для квантовой механики. Середина 20 в. является началом нового этапа в развитии М., к-рый опять-таки характеризуется существенным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих способов и возможностей математич. вывода (математич. логика, теория алгоритмов). Эти математич. дисциплины оказывают существенное влияние на более старые области М.: ищутся схемы решений, к-рые можно осуществлять на машинах, оформилось целое конструктивное направление в М., изучающее проблемы алгоритмич. решения задач, доказательства теорем и построения математич. теорий. Возникли новые дисциплины: теория информации, теория автоматов, теория игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производств. и экономич. задачи, вопросы выбора системы экспериментов и др.; к ней примыкают также спец. методы планово-экономич. расчетов). Характерным является также усиление роли и расширение приложений теории вероятностей (с к-рой связана теория информации и др. указанные новые дисциплины), зародившейся еще в 17 в. и развивавшейся с нарастающей интенсивностью, особенно по мере того как со 2-й пол. 19 в. стало все более выясняться значение статистических закономерностей (см. Вероятность). Все это связано с распространением применений М. на биологию, лингвистику, новые области техники, практич. задачи планирования произ-ва, обществ. науки и др. Можно сказать, что новый предмет М. составляют "сложные" системы, их структура и "поведение", т.е. переходы из одних состояний в другие (см. Кибернетика). О с н о в а н и я М. Основание всякой науки лежит в действительности, к-рую она отражает. Однако М. имеет своим непосредств. предметом не сами объекты и явления действительности, а идеальные объекты, к-рые она рассматривает умозрительно, исключая из своих аргументов ссылку на опыт. Отсюда проистекает особая, характерная именно для M. постановка вопросов о ее основаниях. Задачу оснований М. составляет анализ ее осн. понятий, осн. посылок ее теорий и способов доказательства. Сюда же примыкают вопросы об истинности математич. утверждений и существовании математич. объектов. Основания М. стали предметом исследования вместе с формированием чистой М. Греки, приведя геометрию в логич. систему, выявили те осн. положения (аксиомы), к-рые могли быть положены в ее основу. Теперь ясно, что система аксиом Эвклида была далеко не полной, но важен самый факт сознательного и уже довольно тонкого анализа оснований геометрии. (Для арифметики подобный анализ явился делом уже 19 в., что естественно, т.к. понятие целого числа представляется более очевидным и более ясным, чем осн. понятия геометрии.) Греки же начали исследование возможной зависимости одних аксиом геометрии от других: они стремились вывести аксиому о параллельных из др. аксиом Эвклида. Двухтысячелетняя история этих попыток завершилась построением геометрии Лобачевского, в основе к-рой лежит отрицание этой аксиомы. Возникновение неэвклидовой геометрии и др. абстрактных теорий, знаменовавшее в 19 в. новый этап в развитии М., вместе с анализом основ более старых теорий привело к существенно более глубокому исследованию оснований М. На почве этих исследований оформилось следующее понимание аксиоматич. "обоснования" математич. теорий. Предмет любой данной теории составляет нек-рое множество объектов с нек-рыми отношениями между ними, причем природа объектов никак не определена. Свойства же отношений точно формулируются в соответств. аксиомах. В этом виде аксиоматика данной теории составляет определение ее предмета. Конкретным же предметом теории может служить любое множество объектов с отношениями, для к-рых выполняются аксиомы, если входящие в них термины истолкованы соответств. образом (подробнее см. Метод аксиоматический). Важнейшим из относящихся к любой аксиоматич. системе вопросов является вопрос о ее непротиворечивости (т.е. попросту осмысленности, т.к. противоречивая теория заведомо не может иметь никакого реального смысла). Она доказывается тем, что дается какая-нибудь интерпретация (модель) системы аксиом. Такая модель строится на основе к.-л. др. математич. теории, и тем самым вопрос сводится к непротиворечивости последней. Так, геометрия Лобачевского истолковывается в эвклидовой геометрии, а этой последней дают аналитич. интерпретацию, в к-рой точка плоскости определяется как пара чисел. Однако понятие (аксиоматика) вещественного числа также нуждается в выяснении непротиворечивости. В общем, метод интерпретаций не дает окончат. доказательства непротиворечивости никакой теории, а лишь сводит одну теорию к другой, так что вопрос о непротиворечивости математич. теорий не может быть решен на этом пути в рамках самой М. В конечном счете, убеждение в состоятельности таких теорий М., как, напр., арифметика, оказывается той же природы, что и убеждение в состоятельности теорий естествознания: оно основано на том, что в этих теориях при всем их долгом развитии не обнаруживаются противоречия, что эти теории имеют громадное поле приложений, что они отражают действительность. Однако анализ оснований М. породил др. путь решения той же проблемы, состоящий в исследовании самих логич. средств математич. доказательства, что составляет задачу математич. логики. Если мы отвлекаемся от какой бы то ни было интерпретации, то единственным критерием правильности теоремы оказывается то, что она строго доказана. Математич. объект (напр., решение к.-л. уравнения) считается существующим, если доказано его существование. Речь идет не об истине как соответствии утверждения действительности, не об объективном существовании, а о логич. доказуемости. Но что значит точное доказательство? Противоречия, обнаружившиеся в нек-рых далеких выводах теории множеств, обострили этот вопрос, поскольку идеи этой теории пронизали все основания М. Убеждение в истинности М., основанное на ее гигантских достижениях, не могло снять указанного вопроса. Отказ от его решения означал бы подрыв доверия к строгости дедуктивного метода М. Стремясь спасти положение, нем. математик Д. Гильберт поставил проблему оснований М. следующим образом. Математич. теория трактуется чисто формально (отсюда название учения Гильберта – формализм), т.е. она строится на основе: перечня основных понятий; точного описания правил формулирования допустимых (считающихся осмысленными в этой теории) утверждений и определений; формулировок исходных утверждений (аксиом); указания правил вывода одних утверждений из других. Тогда утверждения теории можно записывать в подходящих символах и рассматривать правила формулирования и вывода просто как правила оперирования с этими символами. Теория превращается в формальную схему, и вопрос о непротиворечивости, о доказуемости в ее пределах той или иной теоремы сводится к исследованию этой схемы. Значение этой т. зр. состоит не только в том, что она очень четко ставит вопрос о математич. доказательстве, но и в том, что, превращая теорию в схему механич. выкладок, позволяет, хотя бы в принципе, передать осуществление этих выкладок машине. В этой связи особое значение приобретает теория алгоритмов (см. Алгоритм). Машина же есть объективный предмет и ее работа – объективный процесс, а не теория, так что здесь основания М. опять приходят к объективной действительности, хотя и др. образом. (М. как совокупности таких формальных схем противопоставляется метаматематика как учение о самих этих схемах, но на самом деле формальная схема уже не есть наука, так что метаматематика и есть М.) Однако очень скоро выяснилось, что указанный подход не решает проблемы: было доказано, что никакая формальная теория не может исчерпать даже арифметику; доказательство непротиворечивости формальной теории не может быть получено в рамках самой этой теории. Всегда неизбежен переход от данной теории к более широкой и т.д. Напр., непротиворечивость обычной арифметики доказана с помощью т.н. конструктивных трансфинитных чисел. Но хотя такое доказательство удается провести средствами, убедительность к-рых весьма велика (логич. их база есть минимальная логика), относительно них также может быть поставлен вопрос о непротиворечивости и т.д. (см. Метатеория). Т.о., дедуктивный метод М. был спасен не в том окончат. смысле, как надеялся Гильберт. Перед основаниями М. лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончат. основания М. так или иначе упираются в отношение ее к действительности. Отношение М. к действитель-ности и к другим наукам. Возникнув из прямого отражения природы, постоянно заимствуя из нее новые понятия, М. отделяет их от действительности, закрепляет их и идет дальше в значит. мере путем внутр. развития, путем логич. доказательства теорем, образования новых понятий, построения новых теорий. А эти теоремы, понятия, теории применяются потом к исследованию действительности. По мере восхождения ко все более высоким абстракциям связь М. с практикой, с действительностью становится все менее непосредственной и осуществляется через др. науки. Во-первых, она черпает в них новые задачи, новые понятия, источники новых теорий и импульсы к развитию. Напр., вся теория дифференц. уравнений возникла и развивается под решающим влиянием механики и физики. Во-вторых, М. выступает по отношению к др. наукам как метод формулировки количеств. закономерностей, как аппарат для построения и разработки теорий, как средство решения задач. Влияние М. распространилось в наст. время не только на точные науки (механику, астрономию, физику), но и на др. естеств. науки и нек-рые области обществ. наук. При этом М. служит не только средством исследования отд. вопросов (напр., математич. статистика применялась в обществ. науках уже давно), но также влияет на формирование новых понятий и теорий. М. приобретает все большее эвристич. значение, особенно в физике, где порой сначала пишутся уравнения, а потом выясняется их физич. смысл. Так было, напр., с квантовой механикой. Значение М. состоит именно в том, что она оказывается методом, своего рода "идеальной техникой", создающей аппарат для др. наук. Это ясно видно из таких выражений, как, напр., "математический аппарат квантовой механики", или из отношения римановой геометрии к общей относительности теории, для к-рой она явилась готовым аппаратом. Понимание М. как идеальной техники не противоречит ее определению как науки о "чистых" формах, поскольку дедуктивное исследование логически возможных чистых форм и есть построение математич. аппарата. Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоят. объектов, М. не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее (напр., математич. континуум включает свойства, которыми не обладают реальные величины, т.к. они не имеют абсолютно точных значений). Это тем более верно в отношении логически возможных форм, определяемых внутри самой M.: они создаются, а не копируются, так же как далеко идущие логич. выводы из исхо . смотреть

Что это ?

Что это ?

Какие высказывания о данной фигуре истинные?

Какие высказывания о данной фигуре истинные?

Отметьте их знаком .

Это не конус Это конус Это не многогранник Это многогранник Это пирамида.

Элемент это — что это?

Элемент это — что это?

Если некоторые Блипы — это Плипы, а некоторые Плипы это зипы, то»некоторые блипы — это зипы»?

Если некоторые Блипы — это Плипы, а некоторые Плипы это зипы, то»некоторые блипы — это зипы».

Варианты ответ 1) это истино 2)это ложб 3)это невозмиожно утвердить.

Помогите т это тонны ц это центнеров?

Помогите т это тонны ц это центнеров.

Кг это килограммы г это граммы Номер 5.

3 км это 8 м это 6 дм это 5 см это 5000м это 20дм это 150см это 560мм это?

3 км это 8 м это 6 дм это 5 см это 5000м это 20дм это 150см это 560мм это.

Укажите число процентов положительного числа а : например 0, 01 — это 1% от а 0, 10а — это ?

Укажите число процентов положительного числа а : например 0, 01 — это 1% от а 0, 10а — это .

% от а 2, 25а — это .

% от а 0, 15а — это .

% от а 0, 25а — это .

А что токое это это знак *?

А что токое это это знак *.

1% — это какая десятичная дробь?

1% — это какая десятичная дробь?

6% — это какая десятичная дробь?

10% — это какая десятичная дробь?

25% — это какая десятичная дробь?

50% — это какая десятичная дробь?

75% — это какая десятичная дробь?

120% — это какая десятичная дробь?

170% — это какая десятичная дробь?

CCXL что это за число?

CCXL что это за число?

Это число современой системе записей.

Что это за число?

Там между этими примерами стоит + и — как это решить?

Там между этими примерами стоит + и — как это решить.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Что это ?, относящийся к уровню подготовки учащихся 1 — 4 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.