Как находится вероятность в математике

  • автор:

math4school.ru

Событие — это явление, про которое можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях.

События обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, . .

Любое событие происходит в следствии испытания ( эксперимента, опыта ). Испытание — это условия, в результате которых происходит или не происходит событие.

► Например, процесс подбрасывания монеты, выстрел с намерением поразить цель представляют собой испытания. Появление загаданной стороны монеты, попадание в цель в результате выстрела — события.

События делят на случайные, достоверные и невозможные .

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания.

Достоверным называют событие, которое в результате данного испытания произойдёт обязательно. Будем обозначать E .

Невозможным называется событие, которое в результате данного испытания не может произойти. Часто обозначают ∅ .

► Например, рассмотрим испытание состоящее в одном подбрасывании игральной кости (кубика) и следующие три события:

А — выпадет чётное число очков (случайное событие);

В — выпадет натуральное число (достоверное событие);

С — выпадет число 10 (невозможное событие).

Теория вероятностей — раздел математики, который изучает закономерности случайных событий.

Равновозможные события — события, каждое из которых по объективным причинам не имеет никаких преимуществ произойти чаще чем другое при многоразовых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Несовместные (несовместимые) события — это такие несколько событий, никакие два из которых не могут произойти в результате одного испытания. В противном случае события называются совместными (совместимыми) .

Полной группой (системой) событий называется множество таких событий, что в результате каждого испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Если полная группа состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и А .

Если события образуют полную группу событий, являются несовместными и равновозможными, то говорят, что они образовывают пространство элементарных событий .

Вынимание из стандартной колоды карт: А — дамы, В — короля, С — туза, — это три равновозможные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — карты красной масти — несовместные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — тройки — совместные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты червовой масти, В — карта бубновой масти, С — карты пиковой или трефовой масти — полная группа событий. События А, В, С не образовывают пространство элементарных событий, так как А и С , В и С не являются равновозможными.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — четырёх карт, среди которых хотя бы одна является тузом, А — четырёх карт, среди которых нет ни одного туза — противоположные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: A1 — туза, A2 — двойки, A3 — тройки, . , A12 — дамы, A13 — короля — пространство элементарных событий.

Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события А , называется вероятностью этого события и обозначается P(А) .

Классическое определение вероятности

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А , к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, то есть $$P(A)=\frac.$$

► Например, вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадут два герба, равна 1/4 , так как множество всех равновозможных несовместных исходов состоит из 4 элементов:

A2 — выпали герб и число;

A3 — выпали число и герб;

и только один исход, A1 , благоприятствует рассматриваемому событию.

Из классического определениям вероятности вытекают следующие элементарные свойства:

1. Вероятность любого события S есть неотрицательное число, не превосходящее единицы $$0\leqslant P(S)\leqslant 1.$$

2. Вероятность случайного события А больше нуля, но меньше единицы$$ 0 < P(A) < 1. $$

3. Вероятность достоверного события равна единице $$P(E) = 1.$$

4. Вероятность невозможного события равна нулю $$P(\varnothing) = 0.$$

Операции над событиями

A_n$$или$$C=A_1 \cup A_2

A_n$$или$$C=A_1 \cap A_2

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:$$P(A_1+A_2

P(A_n)$$или$$P\left (\sum_^A_i \right ) = \sum_^P\left (A_i \right ).$$

► Например, если стрелок стреляет в мишень, которая разделена на две области, и вероятность попадания в первую область равна 0,45, а во вторую — 0,35, то вероятность попадания в мишень составляет 0,45 + 0,35 = 0,8.

Справедливы следующие следствия:

  • Если события А1 , А2 , . , А n образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
  • Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема умножения вероятностей

Два события называются независимыми , если вероятность появления каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:$$P(A_1\cdot A_2

P(A_n)$$или$$P\left (\prod_^A_i \right ) = \prod_^P\left (A_i \right ).$$

► Например, если два стрелка одновременно и независимо друг от друга стреляют в мишень, а вероятность попадания в мишень соответственно равна 0,8 и 0,75, то вероятность попадания в цель обоими стрелками составляет 0,8 · 0,75 = 0,6.

Схема Бернулли

Взаимно независимыми называются такие испытания, исход каждого из которых не зависит от результатов остальных, как уже проведённых, так и тех, которые только предстоит провести.

► Например, взаимно независимыми испытаниями можно считать:

многократные извлечения из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки и усталости от многократной стрельбы не учитываются).

проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти или не произойти. Вероятность того, что случайное событие A произойдёт постоянна в каждом испытании и равна p , а вероятность того, что не произойдёт, — q = 1 – p . Нужно найти вероятность Pm,n того, что событие A настанет m раз в этих n испытаниях.

Искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли :$$P_=C_^p^mq^=\frac\cdot p^mq^.$$

► Например, вычислим вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не больше трех дочерей.

Будем полагать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми. Рассмотрим события:

A — в семье не более трёх дочерей;

A0 — в семье нет дочерей;

A1 — в семье одна дочь;

A2 — в семье две дочери;

A3 — в семье три дочери.

Вероятность рождения девочки p = 1 /2 , мальчика q = 1 /2 . По формуле Бернулли определим вероятность каждого из событий:

$$Так как события A0 , A1 , A2 , A3 несовместны, то для нахождения вероятности события A воспользуемся теоремой о сумме вероятностей:$$P(A)=P(A_0+A_1+A_2+A_3)=P(A_0)+P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\\=\frac<1><32>+\frac<5><32>+\frac<10><32>+\frac<10><32>=\frac<26><32>=\frac<13><16>.$$

Статистическое определение вероятности

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:$$W(A)=\frac,$$где m — число появлений события А , n — общее число проведённых испытаний.

Заметим, что классическое определение вероятности позволяет вычислить вероятность случайного события до проведения испытания и даже без него, а относительная частота считается только в результате серии испытаний.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости . Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется предел, к которому стремится относительная частота W(A) события A при неограниченном увеличении числа испытаний, то есть $$P(A)=\lim_W(A)=\lim_\frac.$$

► Например, опыт с многократным подбрасыванием монеты осуществляли многие естествоиспытатели. Жорж-Луи Леклерк де Бюффон (1707–1788) и Карл Пирсон (1857–1936) одни из них. Вот результаты их экспериментов:

опыты количество подбрасываний монеты количество выпадений герба относительная частота
опыт Бюффона 4 040 2 048 0,5 069
1-й опыт К. Пирсона 12 000 6 019 0,5 016
2-й опыт К. Пирсона 24 000 12 012 0,5 005

Из приведенной таблицы видно, что относительные частоты появления герба мало отличаются от числа 0,5 , причем при увеличении числа опытов n отклонение частоты W(A) от классической вероятности 0,5 только уменьшается и стремиться к нулю.

Закон больших чисел

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Простейшая из них — устойчивость частоты — лежит в основе всех приложений теории вероятностей к практике. Общий смысл подобных закономерностей в следующем.

Представим, что производится большая серия однотипных испытаний. Исход каждого отдельного испытания является случайным и непредсказуемым. Однако, не смотря на это, средний результат всей серии испытаний утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определённым постоянным. Одной из этих теорем является

Если в серии испытаний вероятность некоторого события A остаётся каждый раз постоянной, то при достаточно большом количестве испытаний частота появления события W(A) отличается от его вероятности P(A) на величину меньшую сколь угодно малого положительного числа:$$|W(A)-P(A)|<\varepsilon.$$

► Например, по современным представлениям, газы состоят из отдельных частиц — молекул, которые находятся в хаотическом движении, и нельзя точно сказать, где в данный момент находится и с какой скоростью движется та или иная молекула. Однако, наблюдения показывают, что суммарное действие молекул, например давление газа на стенку сосуда, проявляется с поразительным постоянством. Оно определяется числом ударов и силой каждого из них. Хотя и первое, и второе являются делом случая, приборы не улавливают колебаний давления газа, находящегося в нормальных условиях. Это объясняется тем, что благодаря огромному числу молекул даже в самых небольших объёмах изменение давления на заметную величину практически невозможно. Следовательно, физический закон, утверждающий постоянство давления газа, является проявлением закона больших чисел.

Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности имеет свои ограничения к применению. Его не получится использовать в случаях, когда приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов испытания. К таким случаям относится например задача Бюффона :

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии R. На плоскость наудачу брошена игла длины r < R . Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?

Для решения подобных задач используют следующие геометрические соображения. Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы — это отдельные точки области G , любое событие — это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G . Можно считать, что все точки G "равноправны" и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:$$P(A)=\frac,$$где mes(A) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) исходов, благоприятствующих событию А ;

mes(G) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) всего пространства элементарных исходов.

► Например. На окружности случайным образом выбраны три точки A , B , C . Какова вероятность того, что треугольник A B C остроугольный?

(a) (b) (c)

Пусть D — событие, заключающееся в том, что треугольник A B C остроугольный.

Зафиксируем точку A и введём обозначения, как показано на рисунке (а) . Так как угол γ однозначно определяется парой углов α и β , то пространство всех исходов G и пространство благоприятных исходов D можно задать парами (α; β) , которые удовлетворяют определённым требованиям.$$G=\left \< (\alpha ;

0<2\pi -(\alpha +\beta) <2\pi \right \>=\\

\alpha +\beta < 2\pi \right \>.$$Так как α + β < 2π , то множество всех возможных исходов (α; β) находится в закрашенном треугольнике на рисунке (b) и mes(G) равна его площади:$$mes(G)=\frac<2\pi \cdot 2\pi ><2>=2\pi ^2.$$

\alpha +\beta < 2\pi \right \>.

$$Получили, что множество всех пар (α; β) благоприятствующих событию D расположено внутри более тёмного треугольника на рисунке (с) и mes(D) равна его площади:$$mes(D)=\frac<\pi \cdot \pi ><2>=\frac<\pi ^2><2>.$$Согласно геометрическому определению вероятности$$P(D)=\frac=\frac<\frac<\pi ^2><2>><2\pi ^2>=\frac<1><4>.$$

Теория вероятности формулы

Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании монеты. Ясно, что у этого опыта при каждом испытании может быть только два исхода: выпал герб или выпала цифра. Очевидно, что, во-первых, мы не можем предсказать, какая сторона монеты выпадет в очередном испытании, и, во-вторых, из соображений симметричности монеты эти два исхода можно считать равновозможными.

Следующий пример связан с подбрасыванием игральной кости — симметричного кубика с гранями, помеченными цифрами от 1 до 6. У данного опыта имеется шесть исходов: при каждом испытании может выпасть любая цифра в указанном диапазоне. Выпадение той или иной грани является случайным и равновозможным событием.

Легко усложнить любой из рассмотренных примеров. Допустим, что опыт состоит в том, что мы подбрасываем сразу три монеты. Тогда общее число исходов возрастет до восьми и мы можем все их перечислить. Обозначим для краткости выпадение герба буквой Г и цифры буквой Ц. Тогда все возможные исходы опыта можно записать в виде последовательностей из трех таких букв. Например, последовательность Теория вероятности формулыозначает, что на первой и второй монетах выпал герб, а на третьей цифра. Таким образом, перечень всевозможных исходов имеет вид:

Теория вероятности формулы

Поскольку мы считаем, что все монеты симметричные, то можно считать все эти исходы равно-возможными. Допустим, что мы хотим выяснить, насколько часто произойдет случайное событие Теория вероятности формулысостоящее в том, что цифра выпала ровно два раза. Глядя на этот перечень, легко увидеть, что благоприятных исходов три, а именно Теория вероятности формулыРазделив это число на общее число исходов, мы получим число — вероятность случайного события Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Рассмотрим математическую модель таких и подобных им примеров. Итак, пространством элементарных событий назовем конечное множество Теория вероятности формулысостоящее из исходов или элементарных событий Теория вероятности формулыСлучайным событием назовем любое подмножество пространства элементарных событий Теория вероятности формулыи будем говорить, что исходы Теория вероятности формулыблагоприятны для события Теория вероятности формулы

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Будем говорить, что событие Теория вероятности формулынаступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Вероятностью случайного события Теория вероятности формулыназывается отношение числа благоприятных исходов Теория вероятности формулык общему числу исходов Теория вероятности формулы Теория вероятности формулы

  • В этой модели отражены существенные (и идеализированные) черты рассмотренных нами опытов. А именно, все элементарные события равноправны, что характеризует симметричность исходов, и все они различны. Такое определение вероятности называется классическим.

В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов Теория вероятности формулыа вероятность выпадения герба Теория вероятности формулыравна Теория вероятности формулыопыте с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести исходов Теория вероятности формулыНайдем вероятность случайного события Теория вероятности формулы— выпадения четного числа, большего трех. В этом случае событие Теория вероятности формулысостоит из двух исходов: Теория вероятности формулыпоэтому Теория вероятности формулыВ опыте с подбрасыванием трех монет пространство элементарных событий состоит из восьми исходов Теория вероятности формулы Теория вероятности формулыНайдем вероятность случайного события Теория вероятности формулысостоящего в выпадении одинаковых сторон всех трех монет. Событие Теория вероятности формулысостоит из двух благоприятных исходов: Теория вероятности формулы Теория вероятности формулытак что Теория вероятности формулыВ общем случае из определения вероятности случайного события (1.1) легко следует его свойства

1. Вероятность случайного события заключена в пределах от 0 до 1.

Теория вероятности формулы

Крайние значения вероятности: 0 и 1 тоже принимаются. Введем следующие определения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Событие Теория вероятности формулыкоторое произойдет при любом испытании, называется достоверным. Это означает, что выполняется равенство

Теория вероятности формулыНапример, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие Теория вероятности формулызадаваемое условием «число выпавших очков положительно», будет достоверным.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие Теория вероятности формулыкоторое не может произойти ни при одном испытании, называется невозможным. Иными словами, выполняется равенство Теория вероятности формулыНапример, событие Теория вероятности формулызадаваемое условием «при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков», является невозможным.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Мы видим, что в рамках этой модели подсчет вероятности состоит в установлении того, как случайное событие Теория вероятности формулывыражается через более простые события и, в конечном счете, через элементарные, а также подсчета чисел Теория вероятности формулы

Алгебра случайных событий

При нахождении вероятностей приходится, естественно, учитывать связи между событиями. Формы таких связей весьма многообразны. Наиболее простые из них заключаются в том, что одни события являются комбинациями других. Далее мы ознакомимся с тремя основными видами комбинаций: суммой событий, произведением событий, противоположным событием.

Сумма событий

Пусть с некоторым пространством элементарных событий связаны события Теория вероятности формулыИх суммой называется третье событие Теория вероятности формулыкоторое (по определению) состоит из исходов, благоприятных либо для Теория вероятности формулылибо для Теория вероятности формулыЕсли мы условимся исход, благоприятный для события, обозначать знаком «1», а неблагоприятный — знаком «0», то полную характеристику события Теория вероятности формулыбудет давать следующая таблица: Теория вероятности формулы

Аналогично определяется сумма трех событий, четырех и т.д. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, состоящее из тех и только тех исходов, которые являются благоприятными хотя бы для одного из событий данного множества.

Пример 1:

Пусть пространство элементарных событий заключается в выборе наугад точки из области Теория вероятности формулыявляющейся квадратом на плоскости (такой опыт осуществляет брошенный наугад биллиардный шар — после ряда отражений от бортов биллиардного стола шар останавливается в случайной точке).

Решение:

Если Теория вероятности формулыозначает попадание точки в верхнюю половину квадрата (рис. 1.1), а Теория вероятности формулыпопадание в правую половину, то Теория вероятности формулыбудет означать попадание в область, являющуюся объединением указанных половин. Теория вероятности формулы

Пример 2:

Пусть в опыте с бросанием игральной кости событие Теория вероятности формулыесть выпадение числа, кратного 2, а Теория вероятности формулы— выпадение числа, кратного 3. Тогда Теория вероятности формулыбудет выпадение хотя бы одного из чисел 2,3,4, 6.

Произведение событий

Пусть Теория вероятности формулы— два события. Их произведением называется третье событие Теория вероятности формулыкоторое состоит из тех и только тех исходов, которые благоприятны одновременно для Теория вероятности формулы

Таблица, характеризующая событие Теория вероятности формулыимеет вид: Теория вероятности формулы

Аналогично определяется произведение любого множества событий. Это событие, состоящее из исходов, которые благоприятны для всех событий данного множества.

Если, например, Теория вероятности формулы— события из приведенного выше примера с выбором точки внутри квадрата, то Теория вероятности формулыбудет означать попадание точки в правую верхнюю четверть квадрата. В примере с бросанием игральной кости событие Теория вероятности формулыозначает выпадение 6 очков. Если в том же примере в качестве Теория вероятности формулыпринять выпадение четного числа очков, а в качестве Теория вероятности формулы— выпадение нечетного числа очков, то Теория вероятности формулыбудет означать невозможное событие.

Противоположное событие

Противоположное событие для события Теория вероятности формулыобозначается Теория вероятности формулыПо определению в событие Теория вероятности формулывходят те и только те исходы, которые не благоприятны для Теория вероятности формулы

Например, если Теория вероятности формулыесть выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, то Теория вероятности формулы-это выпадение нечетного числа очков; если Теория вероятности формулы— это попадание при выстреле, то Теория вероятности формулы— промах; если Теория вероятности формулыозначает исправность всех элементов некоторой системы, то Теория вероятности формулы— выход из строя хотя бы одного из элементов.

Таблица, характеризующая событие Теория вероятности формулывыглядит так: Теория вероятности формулы

Беря несколько событий Теория вероятности формулыи применяя к ним в любом порядке операции сложения и умножения, а также используя переход к противоположным событиям, можно строить различные комбинации, например: Теория вероятности формулыи т.п. Читатель должен отчетливо понимать смысл подобных выражений, научиться быстро и безошибочно перечислять благоприятные или неблагоприятные исходы той или иной комбинации. Укажем, например, таблицу, характеризующую событие Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Пример 3:

Покупаются три лотерейных билета; событие Теория вероятности формулыозначает выигрыш по первому билету, Теория вероятности формулы-выигрыш по второму, Теория вероятности формулы— по третьему. Рассмотрим следующую комбинацию:

Теория вероятности формулы

Решение:

Согласно определению операций сложения и умножения благоприятными исходами для события (1.3) являются любой из трех случаев: выигрывают 1-й и 2-й билеты, выигрывают 2-й и 3-й, выигрывают 1-й и 3-й. Другими словами, событие (1.3) означает выигрыш не менее чем по двум билетам.

Аналогичным образом, рассмотрев комбинацию

Теория вероятности формулы

легко убедиться, что событие (1.4) означает выигрыш ровно по двум билетам.

Следствия событий. Равные события

По определению, событие Теория вероятности формулывлечет за собой событие Теория вероятности формулыили событие Теория вероятности формулыявляется следствием события Теория вероятности формулы(обозначение: Теория вероятности формулыесли каждый исход, благоприятный для Теория вероятности формулыявляется благоприятным и для Теория вероятности формулы

Иными словами, все элементарные события, из которых состоит событие Теория вероятности формулывходят в событие Теория вероятности формулы

Например, пусть событие Теория вероятности формулысостоит в том, что при бросании игральной кости выпало нечетное число, меньшее 5, а событие Теория вероятности формулы— выпавшее число меньше 4. Легко видеть, что Теория вероятности формулы

Другой пример. Условие: если в семье муж старше жены Теория вероятности формулыи жене больше 50 лет Теория вероятности формулыто мужу больше 50 лет Теория вероятности формулы— можно записать в виде импликации Теория вероятности формулы

События Теория вероятности формулыравны (обозначение: Теория вероятности формулыв случае, когда они являются следствиями друг друга.

Иными словами, события Теория вероятности формулыравны, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое, или они состоят из одних и тех же исходов.

Разумеется, равные события могут иметь отличающиеся по форме словесные описания. Например, события «не все студенты данного курса успешно сдали теорию вероятностей» и «по крайней мере один из студентов данного курса не сдал теорию вероятностей» равны, хотя и выражены различными оборотами речи.

Разность событий

Событие Теория вероятности формулыявляется разностью событий Теория вероятности формулы(обозначение: Теория вероятности формулыесли оно содержит все исходы, благоприятные для Теория вероятности формулыне являющиеся исходами, благоприятными для Теория вероятности формулы

Легко видеть, что выполняется равенство

Теория вероятности формулы

И наоборот, противоположное событие можно выразить с помощью этой операции:

Теория вероятности формулы

Надо иметь в виду, что так определенные операции сложения и вычитания событий все-таки отличаются от аналогичных действий с числами. В частности, событие Теория вероятности формулывообще говоря, не равно невозможному событию.

Пример 4:

Пусть в группе из 20 студентов имеются три подгруппы, состоящие из 10 студентов, которые знают английский и французский языки, 6 — знающих французский и немецкий, 4 — английский и немецкий.

Решение:

Рассмотрим событие Теория вероятности формулы— студент знает английский язык, Теория вероятности формулы— студент знает французский. Тогда Теория вероятности формулысостоит из студентов, знающих английский и немецкий языки, а Теория вероятности формулыиз студентов, знающих французский и немецкий. Таким образом, событие Теория вероятности формулысостоит из 10 студентов, входящих во вторую и третью подгруппы.

Некоторые тождества

При рассмотрении операций над событиями часто приходится пользоваться двумя важными равенствами:

Теория вероятности формулы

Проверим справедливость первого из них; второе проверяется аналогично.

Наступление события Теория вероятности формулыозначает, что наступает по меньшей мере одно из событий

Теория вероятности формулыНаступление противоположного события Теория вероятности формулыозначает, следовательно, что не наступает ни одно из событий Теория вероятности формулыили, по-другому, что наступают одновременно все события Теория вероятности формулыно это в точности означает наступление события Теория вероятности формулы

Для наглядного истолкования различных соотношений между событиями удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна. В этом случае каждое событие рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область на плоскости; иначе говоря, каждое событие задается некоторой фигурой на плоскости. При таком истолковании событие Теория вероятности формулыбудет не что иное, как попадание точки в область, являющуюся объединением фигур Теория вероятности формулы(рис. 1.2), событие Теория вероятности формулы— попадание в область, являющуюся пересечением фигур Теория вероятности формулыа событие Теория вероятности формулы— попадание в область, дополнительную к фигуре Теория вероятности формулыПозже мы увидим, что такой подход является универсальным: с определенной точки зрения (см. § 1.6, п. 2°) каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции Теория вероятности формулынад событиями — как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

Теория вероятности формулы

Элементы комбинаторики

В этом параграфе рассматриваются задачи комбинаторного характера. В каждой из них требуется подсчитать число различных вариантов, ответить на вопрос «сколько? » или «сколькими способами?». Например, интересно узнать, сколькими способами можно рассадить Теория вероятности формулылюдей в аудитории, где имеется Теория вероятности формулымест Теория вероятности формулыкаким количеством способов студент может набрать на сессии, состоящей из 4 экзаменов, сумму баллов не ниже 12, сколькими способами можно купить 10 акций трех предприятий и т.п.

Комбинаторика имеет весьма непосредственное отношение к теории вероятностей. Близость этих разделов обусловлена, прежде всего, классическим способом подсчета вероятностей.

Теория вероятности формулы

где Теория вероятности формулы— число всех исходов опыта, а Теория вероятности формулы— число исходов, благоприятных для Теория вероятности формулысводит вычисление Теория вероятности формулык нахождению двух чисел Теория вероятности формулыпоследняя задача во многих случаях носит явно комбинаторный характер. Кроме теории вероятностей, комбинаторика используется в теории вычислительных машин, теории автоматов, в некоторых задачах экономики, биологии и т.д.

Правило произведения

Будем рассматривать последовательности данной длины Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

состоящие из некоторых элементов Теория вероятности формулы(не обязательно различных). Условимся для краткости называть такие последовательности строками. Две строки Теория вероятности формулыбудем считать различными в том и только том случае, если хотя бы для одного номера Теория вероятности формулы(из совокупности 1, 2. Теория вероятности формулыэлемент Теория вероятности формулыотличен от Теория вероятности формулы

Правило произведения может быть сформулировано следующим образом.

Пусть элемент Теория вероятности формулыможет быть выбран Теория вероятности формулыспособами; при каждом выборе Теория вероятности формулыэлемент Теория вероятности формулыможет быть выбран Теория вероятности формулыспособами; при каждом выборе пары Теория вероятности формулыэлемент Теория вероятности формулыможет быть выбран Теория вероятности формулыспособами Тогда число различных строк Теория вероятности формулыравно произведению Теория вероятности формулы

Докажем это правило сначала для Теория вероятности формулыт.е. для строк длины 2.

Обозначим через Теория вероятности формулыразличные значения для Теория вероятности формулыСреди строк Теория вероятности формулыимеется ровно Теория вероятности формулыстрок, начинающихся с Теория вероятности формулы(т.е. строк вида Теория вероятности формулыровно Теория вероятности формулыстрок, начинающихся с Теория вероятности формулыи т.д. Следовательно, число всех строк Теория вероятности формулыбудет:

Теория вероятности формулы

Пусть теперь Теория вероятности формулыЛюбую строку

Теория вероятности формулы

можно рассматривать как строку из двух объектов: строки Теория вероятности формулыи элемента Теория вероятности формулыПервый объект, по доказанному, может быть выбран Теория вероятности формулыспособами; при любом из этих способов элемент Теория вероятности формулыпо условию, может быть выбран Теория вероятности формулыспособами. Применяя опять-таки правило произведения для строк длины 2, получим, что число различных строк вида (1.7) будет

Теория вероятности формулы

Ясно, что такое же рассуждение можно применить к строкам длины 4, затем 5 и т.д.

Пример 5:

Рассматриваются 5 различных языков. Сколько словарей нужно иметь для непосредственного перевода с любого языка на любой?

Решение:

Любой словарь задается строкой Теория вероятности формулыгде Теория вероятности формулы— язык, с которого делается перевод, а Теория вероятности формулы— язык, на который переводят. Объект Теория вероятности формулыможет быть выбран 5 способами; при каждом выборе Теория вероятности формулыобъект Теория вероятности формулыможет быть выбран 4 способами. По правилу произведения находим, что число различных словарей будет Теория вероятности формулы

Пример 6:

Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры числа были различны?

Решение:

Пятизначному числу с цифрами Теория вероятности формулыможно сопоставить строку Теория вероятности формулыПри этом выбор цифры Теория вероятности формулывозможен 9 способами; если цифра Теория вероятности формулывыбрана, то для выбора Теория вероятности формулыимеется тоже 9 возможностей Теория вероятности формулыможет быть любой из цифр 0, 1, 2, . 9, отличной от , Теория вероятности формулыпосле выбора Теория вероятности формулыдля цифры Теория вероятности формулыимеется снова 9 возможностей и т.д. Применяя правило произведения, находим, что искомое количество чисел есть

Теория вероятности формулы

Пример 7:

Сколько различных подмножеств имеет множество Теория вероятности формулысостоящее из Теория вероятности формулыэлементов?

Решение:

Пусть Теория вероятности формулы— подмножество в Теория вероятности формулыСопоставим этому подмножеству строку Теория вероятности формулыдлиной Теория вероятности формулы— нечто вроде «шифра» подмножества Теория вероятности формулыА именно: положим Теория вероятности формулыравным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит элемент Теория вероятности формулыв подмножество Теория вероятности формулыположим Теория вероятности формулыравным 1 или 0, смотря по тому, входит или не входит Теория вероятности формулыи так далее. В результате каждому подмножеству Теория вероятности формулыбудет соответствовать строка длины Теория вероятности формулысостоящая из единиц и нулей. И обратно, любая строка длины Теория вероятности формулысостоящая из единиц и нулей, однозначно определяет некоторое подмножество Теория вероятности формулы(например, в случае Теория вероятности формулыстрока (0, 0, 0, 1, 1) определяет подмножество Теория вероятности формулыНо число различных строк

по правилу произведения равно Теория вероятности формулыЗначит, число различных подмножеств множества Теория вероятности формулыбудет также Теория вероятности формулы

Формула включения-исключения

Для любого конечного множества Теория вероятности формулыобозначим через Теория вероятности формулычисло его элементов. Тогда для любых двух конечных множеств выполняется формула

Теория вероятности формулы

Очевидно, что если Теория вероятности формулыне пересекаются, то Теория вероятности формулыОбщий случай сводится к рассмотренному, поскольку Теория вероятности формулы(см. рис. Теория вероятности формулыФормула (1.8) обобщается на случай трех множеств, а именно

Теория вероятности формулы

Графическая иллюстрация формулы (1.9) приведена ниже (рис. 1.4). Ее вывод мы предлагаем читателю. Теория вероятности формулы

Пример 8:

В группе из 30 студентов 20 студентов (множество Теория вероятности формулыизучают английский язык, 15 студентов Теория вероятности формулы— немецкий и

10 Теория вероятности формулы— французский. При этом 8 студентов изучают одновременно английский и немецкий, 5 студентов — английский и французский, 4 — французский и немецкий. Сколько студентов изучают все три языка?

Решение:

Имеем Теория вероятности формулыПо условию,

Теория вероятности формулы

Применим формулу (1.9):

Теория вероятности формулыоткуда видно, что искомое число равно 2.

Формула (1.9) по индукции легко обобщается на случай объединения любого числа множеств и в этом случае называется формулой включения-исключения.

Размещения

Пусть Теория вероятности формулы— множество, состоящее из Теория вероятности формулыэлементов. Любой упорядоченный набор Теория вероятности формулыразличных элементов множества Теория вероятности формулыназывается размещением из Теория вероятности формулыэлементов по Теория вероятности формулы

Для множества Теория вероятности формулысостоящего из трех элементов Теория вероятности формулывсе размещения из двух элементов выглядят следующим образом:

Теория вероятности формулы

Число размещений обозначается Теория вероятности формулыи вычисляется по формуле

Теория вероятности формулы

Для вывода этой формулы применим правило произведения. Действительно, для выбора первого элемента у нас имеется Теория вероятности формулывозможностей, так как на первом месте может стоять любой элемент множества Теория вероятности формулыФиксируя первый элемент, мы видим, что для выбора второго элемента у нас остается Теория вероятности формулывозможность, для выбора третьего при выбранных первых двух элементах Теория вероятности формулывозможности и т.д. Вид последнего множителя в формуле (1.10) обусловлен тем, что число множителей равно Теория вероятности формулы

Пример 9:

Найти число способов распределения первых трех призовых мест для восьми участников финального забега.

Решение:

Всякий такой способ является размещением из восьми участников по три. Поэтому число способов вычисляется по формуле (1.10):

Теория вероятности формулы

Перестановки

Пусть Теория вероятности формулы— множество, состоящее из Теория вероятности формулыэлементов. Перестановкой элементов множества Теория вероятности формулыназывается их расположение в каком-либо определенном порядке:

Теория вероятности формулы

Иными словами, перестановка является размещением из Теория вероятности формулыэлементов по Теория вероятности формулыЧисло различных перестановок обозначим Теория вероятности формулыИз формулы (1.10) следует, что справедлива формула (1.11) Теория вероятности формулы

Заметим, что произведение Теория вероятности формулыобозначается Теория вероятности формулы(читается Теория вероятности формулыфакториал»). Итак, Теория вероятности формулы

Например, 5 человек могут выстроиться в очередь (скажем, к кассе кинотеатра) 5! = 1 • 2 • 3 • 4 5 = 120 способами.

С помощью факториала формулу (1.10) можно переписать следующим образом

Теория вероятности формулы

Для доказательства достаточно умножить и разделить правую часть формулы (1.10) на Теория вероятности формулыДобавим к определению числа Теория вероятности формулыравенство Теория вероятности формулыкоторое примем по определению.

Сочетания. Число сочетаний. Пусть снова Теория вероятности формулы— множество, состоящее из Теория вероятности формулыэлементов. Любое подмножество Теория вероятности формулымножества Теория вероятности формулысодержащее Теория вероятности формулыэлементов, называется сочетанием Теория вероятности формулыэлементов из Теория вероятности формулыпри этом, разумеется, Теория вероятности формулы

Число различных сочетаний Теория вероятности формулыэлементов из Теория вероятности формулыобозначается Теория вероятности формулыОдной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Ее можно преобразовать после очевидных сокращений следующим образом:

Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

это вполне согласуется с тем, что в множестве Теория вероятности формулыимеется только одно подмножество из 0 элементов -пустое подмножество.

Приведем доказательство формулы (1.13). Пусть Теория вероятности формулы— какое-либо подмножество множества Теория вероятности формулысодержащее Теория вероятности формулыэлементов. Составив всевозможные перестановки из этих элементов, получим все размещения элементов Теория вероятности формулыдлиной Теория вероятности формулыЕсли указанную операцию проделать с каждым подмножеством Теория вероятности формулысодержащим Теория вероятности формулыэлементов, то получим все размещения из Теория вероятности формулыпо Теория вероятности формулычисло которых равно Теория вероятности формулыПолучим формулу

Теория вероятности формулы

откуда следует формула (1.14) или (1.13) в зависимости от того, какую формулу для числа размещений подставить: (1.10) или (1.12).

Числа Теория вероятности формулыобладают рядом замечательных свойств. Эти свойства, в конечном счете, выражают различные соотношения между подмножествами данного множества Теория вероятности формулыИх можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1.13), но более содержательными являются доказательства, опирающиеся на теоретико-множественные рассуждения. 1) Справедлива формула

Теория вероятности формулы

вытекающая из (1.13) очевидным образом. Смысл формулы (1.15) состоит в том, что имеется взаимнооднозначное соответствие между множеством всех Теория вероятности формулычленных подмножеств из X и множеством всех Теория вероятности формулычленных подмножеств из Теория вероятности формулычтобы установить это соответствие, достаточно каждому Теория вероятности формулычленному подмножеству Теория вероятности формулысопоставить его дополнение во множестве Теория вероятности формулы

2) Справедлива формула

Теория вероятности формулы

Поскольку сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества Теория вероятности формулы Теория вероятности формулыесть число 0-членных подмножеств, число 1-членных подмножеств и т.д.), то для доказательства формулы (1.15) достаточно сослаться на уже известный читателю факт (см. пример 4 из пункта 1°): число различных подмножеств Теория вероятности формулычленного множества Теория вероятности формулыравно 2″ .

3) При любом Теория вероятности формулысправедливо равенство

Теория вероятности формулы

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1.13). В самом деле,

Теория вероятности формулы

Вывод формулы (1.17), основанный на теоретико-множественных соображениях, мы предоставляем провести читателю. Укажем, что для этого следует выделить какой-то определенный элемент Теория вероятности формулыи все Теория вероятности формулычленные подмножества разбить на две группы: подмножества, содержащие Теория вероятности формулыи подмножества, не содержащие Теория вероятности формулы

4) Рассмотрим так называемый арифметический треугольник Паскаля.

Равенство (1.17) позволяет вычислять значения Теория вероятности формулыесли известны Теория вероятности формулыИными словами, с помощью этого равенства можно последовательно вычислять Теория вероятности формулысначала при Теория вероятности формулызатем при Теория вероятности формулыи т.д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

Теория вероятности формулы

в Теория вероятности формулыстроке которой по порядку стоят числа Теория вероятности формулыПри этом крайние числа строки, т.е. Теория вероятности формулыравны 1, а остальные числа находятся по формуле (1.17). Поскольку Теория вероятности формулырасполагаются в этой таблице строкой выше, чем число Теория вероятности формулыи находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения числа Теория вероятности формулынадо сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей строки. Например, число 10 в шестой строке мы получаем, сложив числа 4 и 6 пятой строки. Указанная таблица и есть как раз «арифметический треугольник Паскаля».

Пример 10:

Пусть Теория вероятности формулыдва целых числа, причем Теория вероятности формулыСколько существует различных строк длиной Теория вероятности формулысостоящих из Теория вероятности формулыбукв Теория вероятности формулыс условием, что в каждой из этих строк буква Теория вероятности формулывстречается Теория вероятности формулыраз (и, следовательно, буква Теория вероятности формулыраз)?

Решение:

Для примера приведем несколько строк с двумя буквами Теория вероятности формулыи тремя Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Пусть Теория вероятности формулы— одна из строк указанного вида. Рассмотрим все номера Теория вероятности формулытакие, что Теория вероятности формулыСовокупность таких номеров является подмножеством множества Теория вероятности формулысостоящим из Теория вероятности формулыэлементов. Обратно, если Теория вероятности формулылюбое подмножество множества Теория вероятности формулысостоящее из Теория вероятности формулыэлементов, то, положив Теория вероятности формулыдля всех Теория вероятности формулыдля всех Теория вероятности формулыполучим строку Теория вероятности формулытребуемого вида. Значит, число указанных в задаче строк равно числу Теория вероятности формулыэлементных подмножеств в Теория вероятности формулыэлементном множестве Теория вероятности формулыт.е. равно числу Теория вероятности формулы

Бином Ньютона

Из школьного курса читателю известны формулы:

Теория вероятности формулы

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая обычно формулой бинома Ньютона:

Теория вероятности формулы

В этой формуле Теория вероятности формулыможет быть любым натуральным числом. Вывод формулы (1.18) несложен. Прежде всего, запишем:

Теория вероятности формулы

где число перемножаемых скобок равно Теория вероятности формулыИз обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (1.19) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм Теория вероятности формулыумножается на любое слагаемое второй суммы Теория вероятности формулына любое слагаемое третьей суммы и т.д. Например, при Теория вероятности формулыимеем:

Теория вероятности формулы

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для Теория вероятности формулысоответствуют (взаимно однозначно) строки длиной Теория вероятности формулысоставленные из букв Теория вероятности формулыСреди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв Теория вероятности формулыНо число строк, содержащих ровно Теория вероятности формулыраз букву Теория вероятности формулыравно Теория вероятности формулы(см. задачу в конце предыдущего пункта 4°). Значит, сумма всех членов, содержащих букву Теория вероятности формулымножителем ровно Теория вероятности формулыраз, равна Теория вероятности формулыПоскольку Теория вероятности формулыможет принимать значения Теория вероятности формулыто из нашего рассуждения следует формула (1.18).

Используя знак суммирования, формулу (1.18) можно записать короче:

Теория вероятности формулы

Хотя формулу (1.18) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта еще до Ньютона (например, ее знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение этой формулы на случай нецелых показателей.

Числа Теория вероятности формулывходящие в формулу (1.18), принято называть биномиальными коэффициентами. Из формулы (1.18) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая Теория вероятности формулыполучим: Теория вероятности формулыт.е. формулу (1.16). Если положить Теория вероятности формулыто будем иметь:

Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Некоторые примеры вычисления вероятностей

Мы рассмотрели классическое определение вероятности случайного события как отношение числа благоприятных исходов опыта к общему числу исходов — формулу (1.1)

Теория вероятности формулы

В этом параграфе мы разберем ряд примеров непосредственного вычисления вероятности случайного события.

Пример 11:

В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным (событие Теория вероятности формулы

Решение:

Представим себе, что шары снабжены номерами 1, 2. 10, причем черные шары получили номера 1, 2. 6.

Обозначим через Теория вероятности формулыгде Теория вероятности формулыисход опыта: извлечение шара с номером Теория вероятности формулыИнтересующему нас событию Теория вероятности формулыблагоприятны исходы Теория вероятности формулыЗначит, в данном случае Теория вероятности формулы Теория вероятности формулы

Пример 12:

Дважды бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма очков при обоих бросаниях окажется больше 10 (событие Теория вероятности формулы

Решение:

Через Теория вероятности формулыобозначим исход опыта, состоящий в том, что при первом бросании выпало Теория вероятности формулыочков, а при втором Теория вероятности формулыТогда 36 событий

Теория вероятности формулы

можно рассматривать как элементарные исходы опыта, заключающегося в двукратном бросании игральной кости. Действительно, при каждом осуществлении опыта наступает один и только один из этих исходов, а соображения «равноправия» (между гранями игральной кости, а также между первым

и вторым бросанием) позволяют считать указанные события равновозможными. Интересующему нас событию Теория вероятности формулыблагоприятны исходы Теория вероятности формулы(остальные неблагоприятны). Отсюда имеем:

Теория вероятности формулы

Пример 13:

В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши падают на 10 билетов. Некто

покупает три билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

Решение:

В данном случае опыт заключается в выборе наугад трех лотерейных билетов.

Перенумеруем все возможные тройки билетов. В качестве номеров будут фигурировать числа

Теория вероятности формулы

Пусть Теория вероятности формулы— исход опыта, заключающийся в покупке тройки с номером Теория вероятности формулыТогда события Теория вероятности формулы Теория вероятности формулыможно рассматривать как все исходы данного опыта.

Интересующее нас событие Теория вероятности формулысостоит в том, что хотя бы один из выбранных билетов оказался выигрышным. Благоприятными для Теория вероятности формулыявляются такие группы из трех билетов, которые содержат хотя бы один выигрышный билет, неблагоприятными — такие, в которых ни на один билет не падает выигрыш. Число неблагоприятных групп равно Теория вероятности формулыследовательно, число благоприятных есть Теория вероятности формулыОтсюда

Теория вероятности формулы

Полученное выражение приближенно равно:

Теория вероятности формулы

Впрочем, выражение (1.20) нетрудно подсчитать точно. Такой подсчет дает Теория вероятности формулыРассмотрим в связи с последним примером еще один пример.

Пример 14:

В условиях лотереи примера 1.10 выяснить, какое минимальное число билетов нужно купить, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша оказалась большей, чем 0,5.

Решение:

Пусть покупаются Теория вероятности формулыбилетов. Обозначим вероятность выигрыша хотя бы по одному из них через Теория вероятности формулыПонятно, что с ростом Теория вероятности формулычисло Теория вероятности формулыбудет возрастать. Наша цель — найти наименьшее значение Теория вероятности формулыпри котором это число больше 0,5. Рассуждая, как в примере 1.10, получим:

Теория вероятности формулы

Следовательно, должно выполнятся неравенство

Теория вероятности формулы

Таким образом, для наших целей достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Теория вероятности формулы

или Теория вероятности формулыЛогарифмируя по десятичному основанию и решая полученное неравенство, получим

Теория вероятности формулы

Таким образом, искомое значение Теория вероятности формулыравно 7. Непосредственное вычисление вероятности по формуле (1.21) дает следующие значения:

Теория вероятности формулы

Многие задачи на подсчет вероятностей можно свести к так называемой схеме случайного выбора. Рассмотрим два основных варианта этой схемы: выбор с возвращением и выбор без возвращения.

1) Выбор с возвращением. Представим себе, что в некотором ящике собрано Теория вероятности формулыразличных предметов Теория вероятности формулыИз ящика наугад извлекается один из предметов, регистрируется, затем кладется обратно в ящик. Если осуществить Теория вероятности формулытаких извлечений, то получим некоторую строку длиной Теория вероятности формулысоставленную из элементов множества Теория вероятности формулыОна называется выборкой с возвращением

объема Теория вероятности формулыиз множества Теория вероятности формулыЧисло различных выборок объема Теория вероятности формулысогласно правилу произведения равно Теория вероятности формулы

Описанная процедура носит название случайного выбора с возвращением. Слово «случайный» в этом названии означает нечто большее, нежели просто тот факт, что состав выборки предсказать заранее невозможно. Мы условимся вкладывать в это слово следующий смысл: все Теория вероятности формулывыборок равно-возможны. Другими словами, опыт состоит из Теория вероятности формулыисходов, и вероятность появления любой конкретной выборки равна Теория вероятности формулы

К схеме случайного выбора с возвращением можно свести большое число опытов. Например, бросание монеты можно представить как случайный выбор одного элемента из множества Теория вероятности формулы<герб, цифра>. Вместо двукратного бросания игральной кости можно рассматривать случайный выбор с возвращением двух элементов из множества Теория вероятности формулыВыяснение дней рождения Теория вероятности формулыслучайных прохожих можно заменить случайным выбором с возвращением Теория вероятности формулыэлементов из множества Теория вероятности формулыи т.д.

2) Выбор без возвращения. В этом случае выбранный предмет не кладется обратно в ящик и следующее извлечение производится из меньшего числа предметов. После Теория вероятности формулыизвлечений получаем строку длиной Теория вероятности формулыбез повторений. Число таких строк, как следует из правила произведения, будет равно числу размещений из Теория вероятности формулыпо Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Случайный характер выбора понимается, как и выше, в том смысле, что опыт состоит из всех равновозможных выборок данной длины.

Пример 15:

Пусть из совокупности Теория вероятности формулыпредметов извлекаются с возвращением Теория вероятности формулыпредметов. Найти вероятность того, что все предметы, составляющие выборку, окажутся различными (событие Теория вероятности формулы

Решение:

В данном случае число всех элементарных исходов опыта равно Теория вероятности формулыа число исходов, благоприятных для события Теория вероятности формулыравно Теория вероятности формулыОтсюда искомая вероятность

Теория вероятности формулы

Остановимся на одном частном случае разобранного выше примера — так называемом парадоксе дня рождения.

Пример 16:

На лекции присутствует Теория вероятности формулыстудентов. Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают (событие Теория вероятности формулы

Решение:

Как уже отмечалось, выяснение дней рождения у Теория вероятности формулыслучайно собравшихся людей можно заменить выбором с возвращением Теория вероятности формулыэлементов из множества Теория вероятности формулыНам необходимо найти вероятность события Теория вероятности формулы— совпадения дней рождения у каких-либо двух студентов. Событие, противоположное Теория вероятности формулызаключается в том, что все дни рождения различны — выше это событие было обозначено Теория вероятности формулыФормула (1.22) при Теория вероятности формулыдает:

Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Найденное нами выражение для Теория вероятности формулызависит, естественно, от Теория вероятности формулы— числа студентов на лекции. Подсчитав Теория вероятности формулыдля различных значений Теория вероятности формулыможно получить такую таблицу: Теория вероятности формулы

(все знаки после запятой, начиная с четвертого, отброшены). Из таблицы видно, что если в аудитории

находятся всего лишь 23 человека, то уже и тогда имеется более половины шансов на то, что, по крайней мере, у двух из них дни рождения совпадают!

Пример 17:

Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что герб при этом выпадет ровно 3 раза (и, следовательно, цифра выпадет 7 раз)?

Решение:

Десятикратное бросание монеты можно рассматривать как составление строки длиной 10 (с повторениями) из элементов множества Теория вероятности формулыЧисло всех строк такого рода равно Теория вероятности формулыСтрок, в которых элемент Теория вероятности формулывстречается 3 раза, а Теория вероятности формулывходит 7 раз, будет Теория вероятности формулыОтсюда искомая вероятность

Теория вероятности формулы

Пример 18:

Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?

Решение:

Здесь нет схемы случайного выбора в прежнем понимании, так как буквы, сложенные в коробке, не все различны (три одинаковые буквы «а»). Представим себе, что одинаковые буквы (в данном случае Теория вероятности формулыиндивидуализированы с помощью знаков 1, 2, 3 (превратились в Теория вероятности формулы Теория вероятности формулыСледовательно,

Теория вероятности формулы

Пример 19:

(задача о выборке). Партия готовых изделий содержит ровно Теория вероятности формулыизделий — Теория вероятности формулыстандартных и Теория вероятности формулыбракованных Теория вероятности формулыИз партии наудачу извлекают Теория вероятности формулыизделий. Какова вероятность того, что в выборке будет Теория вероятности формулыстандартных изделий и Теория вероятности формулыбракованных (где Теория вероятности формулы

Решение:

Выбор Теория вероятности формулыизделий из Теория вероятности формулывозможен Теория вероятности формулыравновероятными способами. Подсчитаем, в скольких случаях будет получаться выборка, содержащая Теория вероятности формулыстандартных и Теория вероятности формулыбракованных. Число различных групп, состоящих из Теория вероятности формулыстандартных изделий, равно Теория вероятности формулыЧисло различных групп, состоящих из Теория вероятности формулыбракованных изделий, равно Теория вероятности формулыПо правилу произведения число различных выборок, содержащих Теория вероятности формулыстандартных изделий и Теория вероятности формулыбракованных, будет Теория вероятности формулыСледовательно, вероятность получить выборку из Теория вероятности формулыстандартных изделий и Теория вероятности формулыбракованных равна Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Теория вероятности формулы

Лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Основные понятия теории вероятностей

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом , или испытанием , понимается осуществление определённого комплекса условий.

    – попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание в цель);
    – выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов);
    – появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения).

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. — появление шара с номером. События образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием

Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма событий обозначается так:

Например, если событие Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение событий обозначается

Например, если событие , тогда событие

Классическое определение вероятности случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Свойства вероятности

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , так как в этом случае

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , так как в этом случае :

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события

где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , то размещением (сочетанием) из элементов по . При перестановкой из элементов.

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются , , , , , ; сочетаниями — , , .

Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов по ,

есть число размещений из элементов по — число перестановок из

Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. равно — числу сочетаний из 10 элементов по 6. Число исходов, благоприятствующих событию способами; при этом остальные способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Статистическое определение вероятности

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.

Геометрическая вероятность

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.

Пусть на плоскости задана некоторая область , в которой содержится другая область (рис. 3). В область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

Решение. Обозначим . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.

Аксиомы теории вероятностей

Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

Аксиома 1. Каждому событию , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.