Что является предметом методики обучения математике

  • автор:

Лекция 1. Предмет методики преподавания математики: Теоретические основы обучения математике

Методика в переводе с греческого «путь». При изучении данной дисциплины необходимы рассмотрения ответов на самые важные вопросы:

Зачем изучать математику?

Кого обучать математики? (учет возрастных, интеллектуальных особенностей обучаемых).

Как обучать математики? (различные методы и способы обучения математики).

Какого содержание изучаемого вопроса? (сама по себе наука обширная, отбор необходимого материала из научной математики для обучения школьных программ)

Сам предмет методика преподавания математики состоит из 2-х частей: общая и частная методика.

В общей методике рассматриваются конкретные факты с учетом специфики математики как учебного предмета. Называемое общее дано не так как она основывается на психолого-педагогических аспектах.

Частная методика представляет собой применение общей методики к изучению конкретных тем школьного курса математики.

МПМ — это наука о математики как о научном предмете и закономерностях обучения математике учащихся различных возрастных групп, в своих исследованиях данная наука опирается на различные психолого-педагогические, математические основы и обобщения практического опыта работы учителей математиков.

Д/з «История возникновения МПМ» (конспект)

-Учебники нового поколения — в переходный период

-Учебники нового поколения- при 12 летнем обучении

Связь с другими науками.

С физикой, химией, педагогикой, психологией, философией и другими науками.

Цели обучения математики в вузах.

Выпускники вузов по завершению курса МПМ должны усвоить следующие аспекты:

развитие логического мышления и умения решать задачи различных видов (общая культурная роль МПМ)

развитие прикладного математического мышления учащихся (представление о роли математики в науке и практике, иметь элементарное представление и навыки применения математики).

Содержание школьного курса математики.

Школьные программы и учебники постоянно изменяются. Первые изменения в школьных программах произошли в 1965 году. ( Калмагулов, Акумевич — комиссия).

В основу программы были заложены 4 ступени образования ( 1-3 классы, 4-5 классы, 6-8 классы, 9-10 классы).

В этот период были введены новые термины множества и его элементы, высказывания и предложения с переменными, подмножества, объединение и пересечение множеств. (с 1-5 класс) Элемент арифметического понятия и начальные сведения из геометрии, понятие отрицательного числа, понятие числа в буквенной символике и решение уравнений (6-8 класс) курс алгебры, 9-10 класс курс алгебры и начала анализа.

Особенностью данного проекта было усиления внимания к обобщенным идеям ( число, геометрические преобразования)

После обработки данная программа была облегчена и переработана в 1985 году ( трех ступенчатая 1-4 класс, 5-9 класс, 10-11 класс).

В основе технологии обучения лежит методологическая система значения включает следующих 5 компонентов:

1) содержание обучения

2) цели обучения.

Дидактические принципы подразделяются на общие и основные.

При рассмотрении дидактических принципов основные положения определяют содержания организационных форм и методов учебной работы школы. В соответствии с целями воспитания и закономерностей процесса обучения.

Дидактические принципы выражают то общее, что присуще любому учебному предмету и являются ориентиром планирования организации и анализа практического задания.

В методической литературе нет единого подхода выделении систем принципа:

А.Столяр выделяет следующие принципы:

6) индивидуальный подход

Ю.К. Бабанский выделяет 5 групп принципов:

1) направлена на отбор содержания обучения

2) на отбор задачи обучения

3) на отбор формы обучения

4) выбор методов обучения

5) анализ результатов

В основу развития современного образования заложен принцип непрерывного обучения.

Принципы обучения не являются раз и навсегда установленные, они углубляются и изменяются.

Принцип научности, как дидактический принцип, сформулирован Н.Н. Скаткиным в 1950 году. Особенностью принципа:

отображает, но не воспроизводит точности системы науки, сохраняя по возможности общие черты присущую им логику, этапность и систему знаний.

Опора к последующим знаниям на предыдущие.

Системная закономерность расположения материала по годам обучения в соответствии с возрастными особенностями и возрастом обучаемых, а также дальнейшие развитии обучающих.

Раскрытие внутренних связей между понятиями закономерностями и связи с другими науками.

В переработанных программах были особо выделены принципы наглядности.

Принцип наглядности обеспечивает переход от живого созерцания пр- венному мышлению. Наглядность делает более доступным, конкретным и интересным, развивает наблюдательность и мышление, обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, способствует развитию абстрактного мышления.

Чрезмерное употребление наглядности может привести к нежелательным результатам.

натуральный (модели, раздаточный материал)

изобразительная наглядность (рисунки, фото и т.д)

символическая наглядность (схемы, таблицы, чертежи, диаграммы)

принцип сознательности обучения предлагает глубокое знание изучаемого усвоения материалом и умения применять на практике. Данный принцип достигается при оптимальном сочетании руководящей ролью учения и активной деятельности ученика (восприятие, сознательное усвоение). В поле сознание выполняет только тот материал, который хорошо понят, проверкой 123 является система продуманных упражнений.

2) Формальность. Критерий формальности:

1. отрыв формы от содержания

2. неумение применять теоретическую математику на практике

3. преобладание памяти над пониманием

3) Прочность. Данный принцип, чтобы у учащихся на долго сохранялись приобретенные ЗУН- этого не возможно достигнуть без глубокого понимания материала т.е здесь превалирует связь между принципом сознательности и научности, однако для прочного усвоения также необходимо учитывать особенности обучаемых, закономерности, находящиеся в промежутке в зависимости от сохранения и применения. Также можно отметить, что память имеет избирательный характер.

4) Принцип системности и последовательности.

Системность в обучении математики предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики.

Последовательность в обучении математике идет:

а) от простого к сложному

б) от представлений к понятиям

в) от известного к неизвестному

г) от знания к умению, а от него — к навыку.

5) принцип доступности. В данном принципе вытекает из требования учета возрастных особенностей (чтобы 123 и содержание учебного материала были по силам обучающим и составляющими умственному развитию и запасу знания).

Применение: необходимо учитывать следующие условия

от простого к сложному , от легкого к тяжелому (от неизвестного к известному)

6)индивидуальный для успешного обучения необходимо учитывать особенности мышления любого ученика, свойства его памяти, слуха, зрения, его характер и волю.

Методы обучения математики.

Методы подразделяются на общие дидактические и специальные.

Данилов: «Метод- это логический способ передачи учителем ЗУН учащимся» (в данном определении отсутствует о познавательной деятельности)

Ильина: «Метод- это способ с помощью которого учитель руководит познавательной деятельностью учителя» (отсутствует ученик как объект деятельности или учебного процесса)

Метод обучения- это способ передачи знаний и организации познавательной практической деятельности учащихся при котором обучаемые овладевают ЗУН, при этом развивают их способность и формируя их научное мировоззрение.

Существует около 150 определений и 80 классификаций методов обучения.

Методы обучения подразделяются на методы преподавания и методы учения.

Бабанский рассматривает три группы:

методы организации учебной познавательной деятельностью

методы мотивации и стимулирования учебной познавательной деятельностью

методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебной познавательной деятельностью

Определение: Общие дидактические методы рассматривают наиболее общие теоретические аспекты организации учебной познавательной деятельности обучаемых.

иногда называют информационно — интуитивно. Для данного метода характерно используется, тем, что учитель посредством слова, наглядности, учебника, показа различной демонстрации передает ученикам готовую информацию, ученики же в силу своей подготовленности усваивают этот материал. Без данного метода затруднительно первоначальное усвоение материала в особенности сложного, при использовании этого метода важно умелое сочетание слов и наглядности.

При данном методе раскрывается формула:

Усвоение = понимание + запоминание

репродуктивный метод, при этом методе формируются ЗУН на основе практического опыта (в форме алгоритмов, решения простейших задач) самого обучаемого.

Овладение = усвоению + применение на практике.

Частично поисковый учитель при изложении материала организует работу учащихся по средствам специально подобранных задач ( вопросы, доказательство теорем т.д. ).

Проблемный метод обучения занимались Махмутов М.И., Матюшкин А.Н., И.Я. Левнер, А.А. Столяр, В.И. Крутич.

Основными компонентами являются проблемная ситуация, учебная проблема, учебная задача.

Щукина: проблемная ситуация- это не соответствие между имеющимися знаниями, опытом и недостаточностью прежних действий, знаний и теми способами, которые необходимы для решения задач.

Под проблемностью понимается система проблемных ситуаций создаваемых учителем с помощью определенных приемов и их средств.

Исследовательский метод- предназначен для развития творческих способностей у учащихся. Учитель ставит перед учащимися определенную учебную проблему, учащийся пытается ее решить. Данный метод используется на факультативных и кружковых занятиях, в частности для математиков. Необходимо заранее предложить определенный набор задач различной степени сложности, для того чтобы учащиеся соответственно своим возможностям выбрать одну из задач и в установленные сроки предоставить решение этих задач.

Наблюдение, опыт, сравнение, аналогия, индукция, дедукция, обобщение, анализ, синтез.

Наблюдение- называется метод изучения ,фиксирование свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Опыт- называют метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.

Сравнение — мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Обобщение — выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более и емкого множества, содержащего данное.

Анализ и синтез- практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга составляя единый аналитико- синтетический метод.

Анализ рассматривался как путь ( метод мышления ) от целого к частям этого целого, а синтез- как путь ( метод мышления) от частей к целому.

Абстрагированию противоположен процесс конкретизации. Конкретизация- это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.

Абстрагирование- это мысленное отвлечение от некоторых несуществующих свойств изучаемого объекта и выявления, существенных для данного исследования свойств.

История возникновения МПМ.

Из обширного запаса методико-педагогических знаний и опыта выделен учебный предмет МПМ в педагогическом институте, который можно условно разделить на три раздела.

Общая МПМ ( изучение методов преподавания )

Специальная МПМ ( изучение, учение о функции в школьном курсе математики )

Конкретная МПМ, которая состоит из

а) частных вопросов общей методики (планирование уроков математики в 4 классе)

б) частных вопросов специальной методики (методика преподавали темы «Четырехугольники»).

Различают также методики преподавания пропедевтического (подготовительного) и систематического (основного) курса математики.

Методика формирования методических понятий.

Представление- это наглядный образ предмета или явления возникаемого путем его воспитания в памяти и воображении.

Для представления характерно переход к его высшей ступени познания то есть к образованию понятий. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется следующими основными формами:

Для понятия характерным является выделение свойств, при этом общее свойство некоторого объекта могут быть как отличиями так и неотличительными свойствами.

Общее свойства могут быть отличительными для данного объекта если оно отражает его так называемые существенные свойства, которые могут быть его признаками.

Признак является основным для некоторого объекта, если данный признак принадлежит всем объектам рассматриваемого класса.

Признак называется противоречивым, если он не принадлежит не одному объекту рассматриваемого класса.

Признак называется отдельным, если он принадлежит лишь некоторым объектам рассматриваемого класса.

Отношение независимости. Свойства а и б называются независимыми, если объектом некоторого множества принадлежат оба свойства одновременно и отдельно друг от друга.

Отношение необходимости и достаточности. Каждое из двух свойств является необходимым и достаточным условием по отношению друг к другу, если объекту этого множества принадлежат одновременно только эти свойства, при этом одно свойство называется необходимым если существуют объекты имеющие одно из этих свойств, в противном случае рассматривается достаточность.

Отношение несовместимости. Свойства называются несовместимыми, если объект некоторого множества может содержать только свойства одного класса.

Основными характеристиками понятия является:

связь и отношения данного понятия с другими

Под содержанием понятия понимают совокупность основных признаков существующих характеристик (классов) объекта (явления), возникающих со знанием человека с помощью данного понятия. (для треугольника, прямоугольника, окружности и т.д)

Объем понятия — это количество объектов охватываемых в данном понятии (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб)

Логические операции используемые при работе с понятиями:

ограничение- переход от понятия большего… к понятию меньшего… (от параллелограмма к ромбу)

обобщение- переход от меньшего к большему …, при этом общие понятия называются родовым понятием, менее общее видовым (призма родовое понятие, прямая призма- видовое)

Что значит определить понятие?

Определение понятие- это логическая операция при помощи которой рассказывается содержание вводимого понятия через перечисление существенных признаков.

Существенные признаки понятия- это признаки которые необходимы для характеристики данного объекта при этом возможно, что лишь 1 признак является необходимым, а все ….. , чтобы отличить объекты данного рода от других. Выбор существенного признака для определения объекта может оказаться многозначным.

Различают реальные и номинальные определения.

Реальные определения: отображают существенные признаки предмета и имеют цели отличить определяемые предметы от всех других предметов путем указания его отличительных признаков. Номинальные определения объясняют значение слова и термины обозначают данный объект

Конъюнктивные и дедуктивные. Конъюнкция, когда одно истинно.

Дизъюнкция, либо ложь, либо истина.

Конструктивное определение, определение в котором указывается способ образования объекта (конус, шар, цилиндр).

Рекурсивное определение- это определение в котором указывается некоторые базисные объекты, некоторого класса и правила позволяющие получить новые объекты этого же класса.

Остенсивное — это определение значение слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов, которое обозначается этими словами.

Определение через отрицание- это когда отрицаются известные определения, чтобы получить новое определение (натуральное, отрицательное, рациональное, иррациональное)

Определение через абстракцию- это, когда определение того или иного объекта через другой вид невозможно либо трудно осуществимо (множество, число, величина, точка).

Аксиоматический- это когда определение понятие дается через аксиому (прямая, точка, плоскость)

Требования к определениям

Определение должно быть соразмерным, то есть ……… определяемого и определяющегося понятия должны быть равные.

Н-р: квадратом наз-ся прямоугольный четырехугольник.

2. Определение не должно включать в себя порочного круга ( тавтология ) то есть в качестве определяющего понятия, не должно браться понятие, которое само определяется с помощью определяемого понятия.

Н-р: прямой угол наз-ся угол равный 90 градусов.

3. Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь.

Н-р: параллелограмм- это не трапеция.

4. Определение должно быть ясным, т.е Определение не должно быть двухсмысловым или содержать метафологические выражения.

Н-р: подобные фигуры должны иметь одинаковую форму.

Нарушение этих требований к следующим ошибкам:

Ошибки связанные с неполным указанием родового понятия. Н-р: квадрат равносторонний прямоугольник.

В определении указывается род понятия, который для определяемого понятия не является не родом, не видом. Н-р: хорда это прямая соединения 1 точек окружности.

Тавтология в определении понятий, т.е предмет определяется через самого себя.

Ошибки связанные с неправильным указанием родового отличия:

а) Указываются не все требуемые видовые отличия. (угол образованный хордами)

б) избыток видовых отличий (параллелограмм- это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны или параллельны)

5. Ошибки, связанные с пропуском слов (прямые лежащие в одной плоскости и не имеющие одной общей точки называются параллельными — 2 пропущено)

Понятие в школьном курсе математики представляется по группам:

понятие аналогии, которое является житейским представлением и включает донаучные понятия.

Понятие дается без определения.

Понятие дается через определения.

Понятие дается более расплывчатым, а затем более конкретизируется

Д/З. «Лабораторная работа» Лященко

виды математических суждений

логическая структура, теоремы. Виды теорем.

свойства и признак.

Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями между объектами, охватываемые этими понятиями.

Суждения, правильно отображающие эти объективно существующие зависимости между вещами называется истинными, в противном случае ложные. Суждения имеют свою языковую оболочку в предложениях. Однако не всякое предложение является суждением, характерные признакам суждения является обязательное наличие истинности или ложности, выражающем его предложение.

Обычно математические суждение формулируется в виде математических предложений.

К математическим предложениям относятся: теоремы и аксиомы. Некоторые определения тоже относят к математическим предложениям.

К математическим предложениям относят уравнение неравенство, тождество и др.

Для выражения тех или иных научных суждений и для выражения логической структуры операции над ними используется язык математической логики, где используется термин высказывания близкий к термину суждений. Над высказываниями используются логические операции конъюнкция, дизъюнкция, и т. д..

Основными видами математических суждений являются: аксиомы, постулаты, теоремы.

Аксиома (от греческого то, что приемлема) — предложение, принимаемое без доказательства его истинность допускается.

В аксиомах высказываются утверждения о свойствах основных неопределяемых понятиях некоторые теории к системе аксиом предлагаются требования независимости, непротиворечивости, полноты.

Постулат (от лат. требование) — это предложение в котором выражаются некоторое требование (условие) к которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторого отношения между понятиями.

Теорема (от греч. рассматриваю, зрелище) — математическое предположение, истинность которого устанавливается по средствам доказательства (рассуждения).

2. В любой теореме можно выделить разъяснительную часть (Р), условие (А), заключение (В).

Пример: В теореме «если две прямые // 3-й, то они // между собой».

В: 3 прямые // между собой

Любую теорему на языке логики можно записать так Р/А В или АВ.

Теорема имеющая одно условие называется простой.

Если имеется несколько условий, то называется теорема сложной.

П-р: сложной теоремой

1) если 2 // прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (АВ1 В2)

2) если диагональ четырехугольника точкой пересечения делится пополам, то эта фигура ромб (А1А2В).

Каждая сложная теорема может быть предложена в виде нескольких простых.

Для словесной формулировки теорем используется условное (со словами или … то) и категорическое (без этих слов)

Условная формы формулировки теорем отражает ее структуру и импликация высказываний из АВ.

Условная формы формулировки теорем удобна для изучения в ней после слов если, дается условие теоремы то, ее заключение.

П-р: 1) Средняя линия треугольника // основанию (категорическая форма)

2) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником ( условная форма)

3) Вертикальные углы равны (категорическая форма)

4) Если два угла вертикальные, то они равны (условная форма).

С любой теоремой связаны еще 3 теоремы.

3. — противоположная к первой

1 2 пары эквивалентных

П-р: 1) Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам (АВ- истина)

2) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм (ВА- истина).

3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали пересекаясь не делятся пополам (истина)

4) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом (истина).

Отметим важные случаи простых и сложных теорем.

Следствие- это теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы.

Лемма- вспомогательная теорема представляющая интерес, только как ступень к доказательству другой теоремы.

Необходимое и достаточное условие.

Это теорема объединяющая в одной формулировке с использованием слов необходимо и достаточно прямую и обратную теорему.

-Теорема существования- это теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами ( Н-р: теорема существования параллельных прямых).

— Теорема единственности- эта теорема в которой нет условия и заключения, но утрачивается единственность какого-либо объекта, обладающего какими-то свойствами (Н-р: теорема единственности перпендикуляра к прямой проходящего через данную точку).

— Теорема тождества, теорема формула- это теоремы, выраженные языком математических символов.

Некоторые теоремы отражают свойства объекта (эти понятия), а некоторые его признаки.

Свойства понятия- это то что можем сказать о данном понятие всесторонне рассматривая его.

Признак понятия- это те показатели, по которым можно узнать данное понятие.

Отличить теорему выражающая свойство понятия от теоремы, выражающей его признаки помогает условная формы теоремы, если об объекте идет речь в условии, то это свойство понятия, а если в заключении, то признак, причем объект в формулировке встречается один раз.

П-р: Теорема: «Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.»- это свойство прямоугольника.

Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.

Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника

Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».

Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия

Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.

Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.

Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.

Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)

Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.

В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:

Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.

Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.

Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.

Дедуктивное умозаключение — может быть непосредственным и опосредованным.

Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.

В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:

П — р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).

Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).

П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.

Е- их точка пересечения

БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.

МП угол 1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.

БП: Вертикальные углы равны.

МП: Угол 3 4 вертикальные углы.

БП: АСЕ и ВЕД подобны.

МП: 1=2, 3=4 т.к они подобны.

МП АЕЕД; СЕЕВ; АСВД

Задание: Доказать любую теорему из учебника в форме выделения силлогизмов.

Полная и неполная дедукция.

В том случае когда дедукцией вывод делается после рассматривания не всех частных случаев индукция называется неполной.

Примеры неполной индукции: рассмотрим умножение 2-х чисел

первые цифры — одинаковые.

Рассмотрев произведение этих чисел делают вывод. Для любых чисел и , где сумма

b+c=10, тогда произведение может быть найдено по следующему правилу:

этот вывод сделан на основе неполной индукции от частного к общему и нуждается в доказательстве, т.к может оказаться ложным.

Примеры на сокращение дробей:

Из рассматриваемых примеров можно сделать вывод, что в числитель и знаменатель можно вычеркнуть b, а иногда нельзя .

Из приведенных примеров видно что неполная индукция вероятностно умозаключению. Она не может использоваться для доказательства утверждения, но она поможет выделить гипотезы на основании подмеченных закономерностях.

Н-р: Найти ГМТ на плоскости равноудаленных концов отрезка АВ.

Полная индукция противоположность неполной индукции, служит методом строгого логического доказательства.

Может быть использована при доказательстве утверждений относящиеся как к конечному так и бесконечному множеству объекта.

П-р: Значение выражения является целым числом при любом х равных 0, -5, 1.

В случае доказательства некоторым утверждениям для бесконечного множества объектов методом полной индукции это множество разделяется на конечное число не пересекающихся подмножеств, которые при объединении должны составлять данное множество.

В школьном курсе полная индукция применяется при доказательстве о величине вписанного угла, теорема косинусов.

1. Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика» Москва, 1976

2. Головина Л.И. , Яглан И.М. «Индукция в геометрии» 1956г, Москва.

Аналогия- является видом традуктивного умозаключения. Она также , как и полная индукция относится к вероятностному умозаключению.

Аналогия- это утверждение, при котором значение об одном объекте переносится на другой объект, сходимый с первым, иногда его называют умозаключение по сходству.

Различают умозаключение простую и распространенную аналогию.

В распространенной аналогии от сходства явлений делают вывод о сходстве причины.

Простая аналогия- это аналогия, в которой от сходства двух объектов в одних признаках, отношениях заключают о сходстве их других признаков и отношениях.

Н-р: Предмет А имеет признаки 1, 2, 3. Предмет В 11, 21, 31- признаки.

В: вероятно объект имеет признак 3 сходный с 31.

Н-р: 1) у прямоугольника все углы прямые (А)

все диагонали равны (В)

точкой пересечения делятся пополам (С).

у прямоугольного параллелепипеда все линейные углы трех равных углов прямые (А)

диагонали равны (В1)

В: (вероятно диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам С1)

Можно заметить сходство треугольника и тетраэдра.

Треугольник выпуклая фигура на плоскости образована наименьшим числом пересечения плоскостей.

Тетраэдр выпуклая фигура в пространстве образуется пересечений плоскостей в пространстве.

Вероятно, свойства у них сходны.

1. Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989

2. Ердниев П.М. «Аналогия в математике» Москва

Лекция 3. Методы доказательств

Доказательство- это цепь логических рассуждений, связывающие условие и заключение теоремы опирающихся на известные теории (теоремы, определения, аксиомы) и обосновывающих истинность заключения. К доказательству теорем учащихся необходимо готовить с первого по 6 классы, научить их наблюдательности, подмечать закономерности и т.д.

Необходимо научить учащихся приводить контрпримеры, они являются доказательством.

Н-р: 1) четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны являются ромбом

2) В четырехугольнике противоположные углы по 90 градусов n-угольник.

При изучении геометрии особенно на начальном этапе большое значение имеет вид чертежа, его расположение.

Методы доказательства теорем делятся на два вида: прямое и косвенное доказательства.

Если доказательство соединяет условие и заключение теоремы, то его называют прямым доказательством.

Если оно связывает условие и заключение другой теоремы (суждение), но в силу логических законов обосновывает истинность доказываемой теоремы, то это косвенное доказательство.

Метод доказательства- это способ связи заключений доказательства.

В широком смысле анализ и синтез являются операциями мышления и следовательно могут рассматриваться как методы познания действительности.

Слово анализ от греч., разложение, расчленение.

Анализом обычно наз. такую операцию мышления с помощью, которой переходят от целого к его частям, от сложного к простому, от следствия к причине, от искомого к данным.

Слово синтез от греч., соединение, сочетание, составление.

Синтез представляет собой операцию мышления с помощью которой переходят от части к целому, от простого к сложному, от причины к следствию, от данных к искомому.

Кроме того над анализом понимают коллективное изучение свойств объекта, а под синтезом их качественное изучение.

Поскольку анализ и синтез связывают причину (условие теоремы, задачи) со следствием (заключением теоремы , требованием задачи) их рассматривают как метод доказательства.

Синтетический метод доказательства определяется тем, что рассуждения ведутся от условия к заключению теоремы это метод прямого доказательства.

(АТ)В1В2В3…ВхС, где Т известные математические предложения в рассмотрении теории.

В1,В2,В3,…,Вх- следствие из условия.

Вывод об истинности С делается по закону логики.

Синтетический метод- метод строгого доказательства.

П-р: Теорема: Если противоположные стороны некоторого четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.

АВ=СД, ВС=АД (условие А)

Доказать: АВСД- параллелограмм (заключение)

4) АВСД- параллелограмм (С)

В учебнике все теоремы даются синтетическим методом.

Синтетический метод- является самым коротким методом доказательства.

Аналитический метод доказательства характеризуется тем, что рассуждения ведутся от заключения к условию теоремы.

Анализ как метод доказательства встречается в двух формах: восходящий анализ (совершенный анализ), анализ Паппа и нисходящий анализ (несовершенный анализ) — анализ Евклида.

При восходящем анализе для доказываемого утверждения последовательно набирают достаточное основание от следствия восходят к причине, схема восходящего анализа следующая:

Пусть требуется доказать что из АС

Док-во: В1С (достаточное условие для С)

Т.О рассуждение состоит в подборе достаточных условий.

Восходящий анализ является строгим методом логического доказательства, истинность

С(АТ)- этот метод прямого доказательства.

Иногда аналитический метод доказательства применяется для нахождения способа доказательства, такой метод доказательства называют аналитико-синтетическим методом.

Н-р: в предыдущей теореме доказывают синтетический метод.

используют аналитический метод.

1. Что нужно доказать?

2. Что АВСД- параллелограмм

3. Что это значит?

4. Определение параллелограмма.

5. Доказать параллельность противоположных сторон.

Чтобы доказать // АВ и СД надо доказать равенство накрест лежащих углов.

3 и4 при прямых АВ и СД при секущей АС.

Чтобы доказать равенство треугольников надо показать, что условие соответствует одному из признаков равенства треугольников, т.е идти от 5 пункта к 1 пункту.

При подготовке к доказательству теорем можно использовать следующие 3 способа: подача, формулировки теорем.

Учитель проводит такую работу, после которой ученики сами дают формулировку теоремы.

Учитель предварительно разъясняет содержание формулировки теоремы, теорему дает сам.

Учитель сразу дает формулировку теоремы, потом проводит разъяснительную работу.

Учитель обязан продумать чертеж к теореме 6

В учебнике доказательство дается сплошным текстом, учитель обязан продумать лаконичную гладкую запись, подразделяя доказательство на этапы рассуждения.

Обратить на важность теоремы. Наиболее важными теоремами в планиметрии являются теоремы о сумме углов треугольника, теорема Евклида.

Обратить внимание учащихся на слова и термины, появившиеся впервые в формулировках теорем и на доске дать правильную запись и символы которыми они обозначаются.

Иногда полезно давать ошибочные формулировки, чтобы проверить уровень усвоения теоремы.

Н-р: 1) в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

2) почему в равносторонних треугольниках углы при основании остры.

Условие обеспечения доказательства теоремы.

Если доказательство должно быть только понятно, то оно должно проверятся кратко, если доказательство должно быть усвоено, проверятся подробно.

Для учителя важно темп подачи материала, тембр голоса, монотонность речи, языковые погрешности, чрезмерная громкость.

Бондаренко А.Ф. «Формирование педагогических речевых умений»- советская педагогика №3,1983г

Бухвалова «О требованиях в речи педагога» народное обучение М, 1983

Куваев «Диалог как форма обучения доказательства» №6, 1985г. Математика в школе- журнал

Приемы закрепления доказательства теоремы: закрепляется в 2 этапа: на уроке и последствии.

Следует разделять усвоение доказательства и ее запоминание.

Для проверки используются вопросы целесообразные.

Прием 1: После доказательства теоремы: один или два ученика повторяют доказательство теоремы.

Прием 2: Учитель предоставляет серию вопросов, отвечая на который, ученик прогоняет основные этапы доказательства.

Прием 3: Ученикам предлагается составит план доказательства.

Прием 4: На доске или на пленке кодоскопа заготавливается последовательность выводов, а ученики должны привести аргументы этих выводов.

При нисходящем анализе рас-ние выполняется в предложении, о том что истинность или ложность суждения выяснена, опираясь на допущение и доказательстве ранее теоремы, выводят одно или несколько следствий из заключения из заключения до тех пор пока вопрос об истинности который в данной теории решен.Т.О. Нисходящий анализ состоит в отыскании необходимых условиях, заключениях теоремы.

Доказательство в форме Нисходящего анализа проводятся по следующей схеме: АС, то СВ1В2…Вх (условие А учитывается при выборе В1)

Последовательное заключение Вх такое суждение истинность или ложность которого известна. Если Вх ложно, то и С ложно. В этом случае нисходящий анализ может быть применен как метод сурового доказательства и прямого доказательства. Если же истина т.е из приведенных рассуждений об истинности С нельзя сказать определенно, рассуждение нельзя считать доказательством, нисходящий анализ в этом случае может быть использован как метод доказательства.

Можно попытаться провести синтетическое доказательство, проверив обратимость рассуждений, если рассуждение обратимо ВхВх-1…В1С, то С истина. Если же не возможно провести обратное рассуждение, то необходимо искать другой метод доказательства.

предлагается, что данное неравенство справедливо для любых a,b неотрицательных.

Последовательное утверждение истина.

Убедившись, что утверждение обратимы делаем вывод об истинности доказываемого неравенства, Т.О. нисходящий анализ в случаи истинности Вх не может служить методом строгого доказательства. Он требует обратного синтетического хода рассуждений, поэтому он называется несовершенным анализом.

В этом случае, когда Вх ложное, используют метод косвенного доказательства или метод от противного, который заключается в следующем:

1. Если следует доказать теорему: АС, то представляют, что С ложно (отрицание) по закону исключения третьего.

2. Получают цепочку следствий

В1В2…Вх, в которой Вх ложное.

Делают вывод о ложности не . А истина С.

I Предметно- ориентированный метод обучения

II личностно-ориентированный метод обучения

Цели: обучающий, развивающий, воспитывающий.

Формы урока: усвоение = понимание + запоминание

Обучение предлагает вооружение алгоритмами.

Вооружение учеников готовыми фактами.

образование с помощью математики.

Субъективно- объективный диалог

Овладение = усваивание + применение на практике

Обучение предлагает развитие, отказ от шаблонов стереотипа шаблона.

Развитие осуществляется за счет процесса получения фактов.

Лекция 4. Математические задачи

В психолого — методической литературе существуют разные подходы к решению задачи. Большинство авторов считают, что задача — это ситуация требующая действий для достижения определенной цели. Поэтому основными компонентами задачи являются: цель, ситуация, действие.

Цель — это требование, ситуация — условие; действие — решение.

Задачей будем считать математической, если ее решение осуществляется математическими средствами.

2. Математические задачи можно разделять на виды (типы) по разным признакам:

а) по отношению компонентов в математике: чисто математические, (все компоненты математические объекты); прикладные (математическое только решение);

б) по характеру требования Н.М. Фридман

— задачи на вычисление искомого,

— задачи на доказательство и объяснение

— задачи на построение или преобразования.

в) по методу решения подразделяются на арифметические (+,-,/,*), алгебраические (буквенные выражения), геометрическое (построение, преобразование).

г) по числу неизвестных компонентов (Колягин Ю.М.)

— стандартные (все компоненты известны)

— обучающая (неизвестен 1 компонент)

— поисковая (неизвестны 2 компонента)

— проблемная(неизвестны 3 компонента)

Выделяет следующие компоненты: начальное состояние, условие (И), конечное состояние, заключение (Z), решение задачи (N), базис решения обоснование (О).

д) по характеру мыслительной деятельности необходимые для решения: стандартные (репродуктивные), нестандартные (творческие).

е) по дидактическим функциям А.А. Столяр для усвоения понятий задачи, для обучения доказательствам, для формирования математических умений — подготовительные.

Различные признаки типизации задач, связанный с различным методом задач.

Задачи могут выступать как цель: научить решать.

Задачи могут выступать как сод — е обучения: тогда они характеризуются по типу требования.

Задачи в обучении могут выступать как средство обучения; в этом случаи их часто называют упражнениями их назначения давать знания, умения и навыки.

В частности учащегося необходимо обучать методом и приемом решения задач, к ним относятся рассмотренные выше методы как анализ, синтез, дедукция, индукция, аналогия.

Перечислим некоторые приемы решения задач не зависимые от типов задач.

Решение задачи представляет собой такое преобразование условия задачи при котором находится требуемое искомое. Решение математической задачи это значит найти такую последовательность общих положений в математике (определение, аксиомы, формулы, законов и т.д.) применяя которые к условию задачи или к их следствию (промежуточном развитии движения получаем то, что требуется в задачи ее ответ). При решении задачи возникает необходимость четного выделения осиновых этапов решения.

Д. Пойя Ю. М. Калягин выделяют и этапа в процессе решения задачи:

— исследование условия и требования задачи.

— поиск решения задачи (составление плана).

— осуществления планов решения задачи.

— проверка правильности решения задачи, поиск правил других способов решения задачи.

Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий в процессе решения задачи подразделяют на 8 этапов:

— схематическая запись задачи,

— поиск правил других способов решения задачи

— осуществления решения задачи

— проверка решения задачи

— формирование решения задачи

— анализ решения задачи.

Наиболее важными и трудными являются первые 2 этапа.

Для поиска решения задачи и для анализа и требования используются следующие приемы:

1. правильное чтение задачи (правильное произношение слов, постановка ударения в словах, постановка логических ударений).

2. правильное слушание текста задачи (слушая первый раз надо постараться понять и записать требование задачи, второй раз условие).

3. постановка специальных …. По тексту задачи для выяснения его понимания. Вопросы могут быть следующего характера:

— о чем эта задача?

— о каких объектах идет речь?

— какой процесс описывается в задачи?

— что означают слова, термины, числа?

4. разбиение задачи на смысловые части, выявление структуры задачи, и из формулировки выдвигаются условия и требования, объекты и их характеристики, выясняются отношения, зависимости между ними. Для выполнения условия задачи могут быть поставлены вопросы:

— что дано в задачи?

— что требуется найти?

— как связаны величины задачи?

После такого анализа составляется краткая запись условия задачи.

при необходимости возможна переформировка текста задачи отбросив лишние детали текста.

Приемы поиска планы решения задачи.

1. Распознавание вида задачи, подведение задачи под известные Def, утверждение, правило, алгоритм. В случаи, если задача стандартная.

2. Рассуждение на основе исходного текста задачи с использованием аналитически синтетического метода.

3. рассуждение по краткой записи.

4. проведение аналогии с ранее решенными задачами и методами решения.

5. разбиение задачи на подзадачи.

6. Введение вспомогательных элементов.

Приемы дополнительной работы над задачами.

Составление и решение обратной задачи.

Решение задачи другим способом.

Проверка, практическая значимость задачи.

обобщение задачи и способы решения.

Задача: Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пункта А и В, расстояние между которыми = 11 км, ? = 24 км/ч

одновременно с первым велосипедистом из А выбежал пес, добежав до 1- го велосипедиста, он повернул назад так он и бегал от одного к другому до их встречи.

Какое расстояние пробежал пес, если его ?= 28 км/ч.

Пери способа: арифметический, арифметически — алгебраический, алгебраический.

При решение задач на вычисление аналитическим способом аналитико — синтетический метод применяется на тех — же решениях. Единственное различие состоит в том , что на этапе поиска решения применяется анализ в нисходящей форме.

Методика обучения решения технических задач.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д)

Задача сюжетная- сюжет (реальные объекты, события, явления)

Арифметическая- математические выкладки (коллективные отношения

между значениями нескольких величин, связанные с вычислениями).

Термин текстовая задача -наиболее распространен. Текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процессы.

Числовые значения величин (данные, известные- их должно быть не меньше двух).

некоторая система функциональных зависимостей в неявной форме.

требование или вопрос, на который надо найти ответ.

В задачи есть условие. Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е качественные и количественные характеристики объектов задачи и отношений между ними.

Величину, значение которой надо найти, называют искомой величиной, а числовое значение искомых величин, а числовое значение искомых величин- искомыми или неизвестными.

Задача: На первом складе было 135 м3 дров, на втором складе 114 м3. Ежедневно с первого склада вывозят по 7,5 м3, со второго 6,5 м3. Через солько дней на складах дров останется поровну?

1) Первый склад-135 м3

Второй склад- 114 м3.

Ежедневно с первого склада- по 7,5 м3.

со второго 6,5 м3.

Через сколько дней на складах дров останется поровну?

Ответ: через 21 день.

Задача: Даны три числа, сумма которых равна 100. Сумма двух из них равна 80, а первое число на 20 больше второго. Найти эти числа.

методика преподавания математики в школе
статья на тему

Бокова Людмила Анатольевна

Содержание и методика преподавания курсов математики в школе.

Математика как наука.

Математика — слово, пришедшее к нам из Древней Греции: mathema переводится как «познание, наука». Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях.

Математика изучает математические модели — логические структуры, у которых описан ряд отношений между их элементами. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Математика возникла из практических нужд людей, ее связи с практикой становятся все более и более многообразными и глубокими. Особенно велико значение математики в развитии современной физики, астрономии, химии. Значительное место занимает математика и в таких науках, как экономика, биология, медицина.

Математика как учебный предмет .

В школьный курс математики должна быть отобрана та часть математических знаний (обязательная), которая даст общее представление о науке, поможет овладеть математическими методами и будет способствовать необходимому развитию математического мышления у школьников. Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи с расширением целей образования, появлением новых требований к школьной подготовке, изменением стандартов образования.

Математика как учебный предмет в школе представляет собой элементы арифметики, алгебры, начал математического анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитической геометрии, тригонометрии.

Обучение учащихся математике направлено: на овладение ими системой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов решения практических задач; на развитие логического мышления пространственного воображения, устной и письменной математической речи; на формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, а также инструментальных и графических навыков. От математики как науки математика как учебный предмет отличается не только объемом, системой и глубиной изложения, но и прикладной направленностью изучаемых вопросов.

Учебный курс математики постоянно оказывается перед необходимостью преодолевать противоречие между математикой — развивающейся наукой — и стабильным ядром математики — учебным предметом. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания математического образования, сближения учебного предмета с наукой, соответствия его содержания социальному заказу общества.

Для современного этапа развития математики как учебного предмета характерны:

— жесткий отбор основ содержания;

— четкое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения;

— усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью;

— систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.

Дальнейшее совершенствование содержания школьного математического образования связано с требованиями, которые предъявляет к математическим знаниям учащихся практика, — промышленность, производство, военное дело, сельское хозяйство, социальное переустройство.

Предмет методики преподавания математики.

Слово методика в переводе с древнегреческого означает способ познания, путь исследования. Метод — это путь достижения какой-либо цели, решения конкретной учебной задачи.

Существуют разные точки зрения на содержание понятия методика. Приведем несколько определений:

— методика преподавания математики — наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп и способностей;

— методика обучения математике — это педагогическая наука о задачах, содержании и методах обучения математике. Она изучает и исследует процесс обучения математике в целях повышения его эффективности и качества. Методика обучения математике рассматривает вопрос о том, как надо преподавать математику;

— методика преподавания математики — раздел педагогики, исследующий закономерности обучения математике на определенном уровне ее развития в соответствии с целями обучения подрастающего поколения, поставленными обществом. Методика обучения математике призвана исследовать проблемы математического образования, обучения математике и математического воспитания.

Цель методики обучения математике заключается в исследовании основных компонентов системы обучения математике в школе и связей между ними. Под основными компонентами понимают цели, содержание, методы, формы и средства обучения математике.

Предметом методики обучения математике являются цели и содержание математического образования, методы, средства и формы обучения математике.

На функционирование системы обучения математике оказывает влияние ряд факторов: общие цели образования, гуманизация и гуманитаризация образования, развитие математики как науки, прикладная и практическая направленность математики, новые образовательные идеи и технологии, результаты исследований в психологии, дидактике, логике и т.д.

Основными задачами методики преподавания математики являются:

— определение конкретных целей изучения математики по классам, темам, урокам;

— отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными возможностями учащихся;

— разработка наиболее рациональных методов и организационных форм обучения, направленных на достижение поставленных целей;

— выбор необходимых средств обучения и разработка методики их применения в практике работы учителя математики.

Методика преподавания математики призвана дать ответы на три вопроса: Зачем надо учить математике? Что надо изучать? Как надо обучать математике?

Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными. Каждый раздел, вошедший в это ядро, имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. Вопросы изучения подробно рассматриваются в специальной методике преподавания математики.

Выделенное ядро школьного курса математики составляет основу его базисной программы, которая является исходным документом для разработки тематических программ. В тематической программе для средней школы, кроме распределения учебного материала по классам, излагаются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся, раскрываются межпредметные связи, даются примерные нормы оценок.

Взаимосвязь методики преподавания математики и других областей знаний.

Методика обучения математике связана с такими науками, как философия, психология, педагогика, логика, информатика, история математики и математического образования, физиология человека, и прежде всего с математикой — ее базовой дисциплиной. Цель методики — отобрать основные данные математической науки и, дидактически обработав и адаптировав их, включить в содержание школьных курсов математики.

Философия разрабатывает методы познания, которые используются в педагогических, методических исследованиях и в обучении математике: системный подход (компоненты методики преподавания математики и их взаимосвязь); методы научного познания (аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование и т. д.); философские законы; диалектический метод познания.

Логика исследует законы «правильного» мышления. Такие понятия, как выражение, теорема, доказательство, уравнение, правило вывода, являются логическими понятиями. Доказательства математических утверждений базируются на логических действиях. Формирование математических понятий осуществляется на основе логических законов.

Методика преподавания математики тесно связана с педагогикой, в частности с дидактикой. В дидактике основным отношением, характеризующим обучение, является «преподавание — учение», в методике — «преподавание — учебный материал — учение». Педагогика определяет методы обучения, цели воспитания, методы научного исследования. Взяв за основу эти методы и цели из педагогики, методика вносит как в учебный процесс, так и в научные исследования свое конкретное математическое содержание.

Методика обучения математике ориентируется на особенности учащихся определенных возрастных групп с использованием закономерностей индивидуальных особенностей школьников в определенном возрасте (память, мышление, внимание и т. д.). Влияние психологии на методику обучения математике усиливается в связи с внедрением личностно ориентированного образования, характеризующегося усилением внимания к ученику, его саморазвитию, самопознанию, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни.

Методика обучения математике связана с историей математики. Она обращает внимание учителя на трудности, с которыми он может встретиться при изучении школьного курса математики, придает математическим знаниям личностно значимый характер.

Информатика — наука, изучающая проблемы получения, хранения, преобразования, передачи и использования информации. В последнее время, в связи с развитием информатики, усиливается ее влияние на методику обучения математике: формируется определенный стиль мышления, связанный с использованием компьютера, кодированием информации; применяются информационные технологии, ориентированные на повышение эффективности обучения математике.

Методика обучения математике не может не учитывать данных физиологии, особенно в исследованиях, например, при изучении рефлексов, связанных с сигналами, поступающими как от материальных предметов и явлений, так и от слов, символов, знаков.

Методы методики обучения математики.

Для решения проблем методического характера используют следующие методы: эксперимент; изучение и использование отечественного и зарубежного опыта обучения учащихся; анкетирование, беседы с учителями и учащимися; анализ; синтез, моделирование, ранжирование, шкалирование и т.д.

Для доказательства предполагаемых суждений в методике обучения математике используют эксперимент — организуемое обучение с целью проверки гипотезы, фиксации реального уровня знаний, умений, навыков, развития ученика, сравнения результативности предлагаемых методик и традиционно используемых, обоснования различных утверждений. На этапе обоснования гипотезы используют констатирующий эксперимент, позволяющий выявить состояние объекта исследования или проверить предположение, а также уточнить отдельные факты. В процессе проверки гипотезы проводят обучающий (поисковый, формирующий) эксперимент, который проводится с целью выявить эффективность разработанной методики. Отбираются экспериментальные и контрольные классы. В контрольных классах обучение ведется по традиционной схеме, а в экспериментальных — по разработанной исследователем модели или схеме. В организации эксперимента используются: наблюдение, анкетирование, качественный и количественный анализ результатов обучения.

Качественный анализ результатов исследования осуществляется с помощью контрольных работ, тестирования школьников, а количественный — по результатам статистической обработки контрольных работ, тестов.

Проблемы преподавания математики.

Актуальными для методики преподавания математики являются следующие проблемы:

дифференциация содержания образования;

методическое обеспечение преподавания математики в связи с постоянным обновлением содержания школьного математического образования;

нарушение межпредметных связей;

несовершенная система контроля и оценки знаний учащихся при обучении математике;

Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.

Методика преподавания математики — наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп и способностей; методика обучения математике — это педагогическая наука о за­дачах, содержании и методах обучения математике. Цели математике: общеобразовательные (овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов в соответствии с программой), воспитательные (формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду), развивающие (развитие логических структур и математического стиля мышления), практические (формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).

Основными задачами методики преподавания математики явля­ются: определение конкретных целей изучения математики по клас­сам, темам, урокам; отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными возможностями учащихся; разработка наиболее рациональных методов и организацион­ных форм обучения, направленных на достижение поставленных це­лей; выбор необходимых средств обучения и разработка методики их применения в практике работы учителя математики.

Предметом методики обучения математике являются цели и содержа­ние математического образования, методы, средства и формы обуче­ния математике.

Методика обучения математике связана с такими науками, как фи­лософия, психология, педагогика, логика, информатика, история ма­тематики и математического образования, физиология человека, и прежде всего с математикой — ее базовой дисциплиной. Цель методики — отобрать основные данные математической науки и, дидактически обработав и адаптировав их, включить в содержание школьных курсов математики. Философия разрабатывает методы познания, которые используют­ся в педагогических, методических исследованиях и в обучении мате­матике: системный подход (компоненты методики преподавания ма­тематики и их взаимосвязь); методы научного познания (аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование и т. д.); философские за­коны; диалектический метод познания. Логика исследует законы «правильного» мышления. Такие понятия, как выражение, теорема, доказательство, уравнение, правило вывода, являются логическими понятиями. Формирование мате­матических понятий осуществляется на основе логических законов. Методика преподавания математики тесно связана с педагогикой, в частности с дидактикой. В дидактике основным отношением, ха­рактеризующим обучение, является «преподавание — учение», в ме­тодике — «преподавание — учебный материал — учение. Методика обучения математике ориентируется на особенности уча­щихся определенных возрастных групп с использованием закономер­ностей индивидуальных особенностей школьников в определенном возрасте (память, мышление, внимание и т. д.). Влияние психологии на методику обучения математике усиливается в связи с внедрением личностно ориентированного образования, характеризующегося усиле­нием внимания к ученику, его саморазвитию, самопознанию, к воспи­танию умения искать и находить свое место в жизни. В последнее время, в связи с развитием информатики, усиливается ее влияние на методику обучения математике: формируется определенный стиль мышления, связанный с использованием компьютера, кодированием информации; применяются информационные технологии, ориенти­рованные на повышение эффективности обучения математике. Методика обучения математике не может не учитывать данных фи­зиологии, особенно в исследованиях, например, при изучении рефлек­сов, связанных с сигналами, поступающими как от материальных предметов и явлений, так и от слов, символов, знаков.

Математика как учебный предмет в школе.

В школьный курс математики должна быть отобрана та часть матема­тических знаний (обязательная), которая даст общее представление о науке, поможет овладеть математическими методами, и будет способство­вать необходимому развитию математического мышления у школьников.

Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи с расширением целей образования, появлением новых требова­ний к школьной подготовке, изменением стандартов образования.

Математика как учебный предмет в школе представляет собой эле­менты арифметики, алгебры, начал математического анализа, евкли­довой геометрии плоскости и пространства, аналитической геометрии, тригонометрии.

Обучение учащихся математике направлено: на овладение ими сис­темой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов решения практических задач; на развитие логического мышления пространственного воображения, устной и письменной математической речи; на формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, а также инстру­ментальных и графических навыков.

От математики как науки математика как учебный предмет отлича­ется не только объемом, системой и глубиной изложения, но и при­кладной направленностью изучаемых вопросов.

Учебный курс математики постоянно оказывается перед необходи­мостью преодолевать противоречие между математикой — развиваю­щейся наукой — и стабильным ядром математики — учебным предме­том. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания математического образования, сближения учебного предмета с нау­кой, соответствия его содержания социальному заказу общества.

Для современного этапа развития математики как учебного предме­та характерны: жесткий отбор основ содержания; четкое определение конкретных целей обучения, меж предметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения; усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью; систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.

Содержание учебного предмета математики меняется со временем. Это обусловлено следующими причинами:

1.Расширение целей обучения и появление новых требований к школьной подготовке связано с развитием общества оказывают большое влияние на определение содержания математики и уровня овладения мат. знаниями, умениями, навыками.

2.Непрерывное развитие самой науки влечёт за собой обновление содержания учебного предмета.

3.Усиление общего развития учащихся в процессе развития общества предопределяет более раннее изучение предмета.

4.Развитие мпм повышает доступность и эффективность обучения школьников.

Психолого-педагогические основы обучения математики.

Классификация понятий

Классификация понятий — последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)

Классификации считается правильной, если:

признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;

понятия, получаемые в классификации — взаимонезависимые;

сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;

в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций

дихотомическая( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;

иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;

последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Образование понятия

1)Выделение с помощью анализа признаков объекта

2)Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта

3)Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков

4)Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Виды понятий

Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия);

Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы

Равнозначныминазываются понятия, объемы которых полностью совпадают.

Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают.

Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

Математическое предложение как средство выражения суждения. Основные виды математических суждений. Условная форма математических предложений. Четыре вида предложений, записанных в условной форме. Связь между их истинностью. Необходимое и достаточное условия.

1. В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" — истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" — ложное суждение.

Таким образом, суждение — это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Суждение имеет свою языковую оболочку —предложение, однако не всякое предложение является суждением. (Математическое суждение принято называть предложением.)

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение "треугольник АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.

Математика представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов.

2. суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура — окружность".

Виды теорем:

1) Из А следует Б. (a=>b) —прямое утверждение.

2) Из Б следует А. (b=>a) — обратное утверждение .

3) Из не А следует не Б. ( ) противоположное утверждение.

4) Из не Б следует не А. ( ) контрапозитивное утверждение.

Если импликация P=>Q является теоремой, то : условие P называется достаточным условием для условия Q, а условие Q – необходимым условием для условия P.

Если теоремами являются импликации P => Q и Q=> P, то каждое из условий является необходимым и достаточным для другого.

Этапы работы с теоремой в школе

Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания;

Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, мотивация необходимости изучения факта;

Введение формулировки теоремы и осуществление ее доказательства- первичное усвоение факта и его доказательства учащимися;

Применение теоремы в качестве аргумента при выводе следствий.

Примеры

1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб" имеет структуру А V В => C, где А — "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В — "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С — "этот параллелограмм — ромб".

2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А — "четырехугольник — трапеция"; В — "его средняя линия параллельна основаниям"; С — "(его средняя линия) равна полусумме оснований".

Часто в формулировках теорем используется выражение "необходимо и достаточно" (ПРИЗНАК). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую НЕОБХОДИМОСТЬ признака, другая выражает теорему, доказывающую ДОСТАТОЧНОСТЬ признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

"Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой", может быть сформулирован и так: "Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой":

Типы уроков

1. Урок по ознакомлению с новым материалом (по формированию понятия).
2.Урок по закреплению изученного материала.
3.Урок проверки знаний, умений и навыков.
4.Урок по систематизации и обобщению изученного материала.

5.Урок контроля и коррекции знаний и умений учащихся.

6. Комбинированный урок.

В современных условиях к ведущим требованиям к уроку целесообразно отнести:

· необходимость построения процесса обучения на основании объективных закономерностей психологии обучения и принципов дидактики (научности, доступности, наглядности, сознательности и активности, систематичности и последовательности обучения, принципов воспитывающего и развивающего обучения, связи обучения с жизнью, сотрудничества, гуманизации);

· формулировка учителем образовательной, воспитательной и развивающей задач и обеспечение условий их решения на протяжении всего урока;

· отбор содержания материала, соответствующего уровню современных достижений науки и процесса обучения;

· чёткое продумывание структуры урока, прогнозирование уровня усвоения учащимися знаний, сформированности их умений и навыков;

· целесообразный отбор разнообразных методов и приёмов обучения, их оптимальное сочетание, осуществление стимулирования и контроля, сочетание индивидуальной и коллективной форм работы на уроке;

· рациональное использование времени;

· организацию полного цикла познавательной деятельности школьников;

· создание атмосферы комфортности и доброжелательности, успеха, заинтересованности учащихся в результате обучения, условий успешного учения;

· планирование системы уроков в целях усиления их воспитательной, развивающей функций и прогнозирования результатов познавательной деятельности школьников.

Контроль и оценка знаний учащихся по математике. Различные виды письменного и устного контроля. Организация контроля и оценки знаний, навыков и умений школьников по математике, виды контроля (текущий, тематический, итоговый), формы контроля (устные опросы, письменные работы, зачеты, экзамены, централизованное тестирование).

Контроль знаний учащихся является составной частью процесса обучения. По определению контроль это соотношение достигнутых результатов с запланированными целями обучения. Проверка знаний учащихся должна давать сведения не только о правильности или неправильности конечного результата выполненной деятельности, но и о ней самой: соответствует ли форма действий данному этапу усвоения. Правильно поставленный контроль учебной деятельности учащихся позволяет учителю оценивать получаемые ими знания, умения, навыки, вовремя оказать необходимую помощь и добиваться поставленных целей обучения. Все это в совокупности создает благоприятные условия для развития познавательных способностей учащихся и активизации их самостоятельной работы на уроках математики. ВИДЫ КОНТРОЛЯ

Текущий контроль проводится на первых этапах формирования умений и навыков, что позволяет анализировать процесс их становления. Текущий контроль предполагает использование различных форм проверки знаний, умений, навыков учащихся: индивидуальных и фронтальных опросов, регулярных проверок текущих письменных классных и домашних работ, различного рода проверочных работ (предупредительных, объяснительных, зрительных, творческих диктантов, письма по памяти и др.). Все названные формы проверки усвоения знаний и навыков учащихся носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому оценка в баллах не обязательна.

Тематический контроль предполагает проверку усвоения программного материала по наиболее значимым темам учебных предметов. Тематические контрольные работы проводятся сразу после изучения ключевых тем программы и позволяют учителю выяснить степень овладения учащимися только что изученным материалом. Тематические контрольные работы могут носить разноуровневый характер в зависимости от подготовленности класса, использования альтернативных программ обучения и т.д.

Итоговый контроль является способом проверки достигнутых учащимися знаний и навыков, обеспечивающих дальнейшее обучение. Цель проведения итогового контроля – государственная проверка выполнения требований школьной программы за истекший период работы (учебную четверть, полугодие, год), получение объективных данных. Итоговые контрольные работы имеют особое значение для учёта успеваемости каждого ученика, являются основными критериями оценки работы ученика и учителя. Они не должны завышать или занижать уровень программных требований.

Широко применяемым методом контроля в обучении математикеявляется проверка письменно-графических работ. Этот метод имеет свои качественные особенности: большая объективность по сравнению с устнойпроверкой, охват нужного числа проверяемых, экономия времени. Применениеписьменных работ используется для:

1) Проверки знания теоретического материала

2) Умения применять его к решению задач

3) Контроля сформированных навыков

С помощью этого метода получают данные об умении учащихся применять полученные знания при решении практических задач, пользоваться различными таблицами, формулами, чертежными и измерительными инструментами, приборами. Учитель получает отчет ученика, в котором приводится только результат илисхематически описаны план практической работы и ее результаты. Это несколько затрудняет проверку и оценку каждого действия ученика. Поэтому на практике в проверочном задании приводиться алгоритм его выполнения, чтопозволяет осуществить такую проверку правильности действий ученика. Всеработы проверяются, но оцениваются по-разному, по результатам обзорных работ оценки выставляются в журнал, по результатам тренировочных работможно выставить лишь положительные оценки.

Основная цель контроля и оценки знаний учащихся по математики – определение качества усвоения учащимися уч материала, уровня овладения ими ЗУН., предусмотренными учебн программами. Проверка знаний учащихся должна давать сведения не только о правильности или неправильности конечного результата выполненной деятельности, но и о ней самой: соответствует ли форма действий данному этапу усвоения. Правильно поставленный контроль учебной деятельности учащихся позволяет учителю оценивать получаемые ими знания, умения, навыки, вовремя оказать необходимую помощь и добиваться поставленных целей обучения. Все это в совокупности создает благоприятные условия для развития познавательных способностей учащихся и активизации их самостоятельной работы на уроках математики. Без хорошо налаженной проверки и своевременной оценки результатов нельзя говорить об эффективности обучения математике.

Устная проверка организуется по-разному, в зависимости от ее цели и от содержания проверяемого материала. Среди целевых установок проверки можно выделить следующие: проверить выполнение домашнего задания, выявить подготовленность учащихся к изучению нового материала, проверить степень понимания и усвоения новых знаний. В зависимости от содержания она

проводится по материалу предшествующего урока или по отдельным разделам и

Формы устного контроля знаний:

1) Устный опрос у доски 2) Магнитофонный опрос 3. Устный зачёт по теме, как беседа учителя и ученика 4) Защита творческих работ и проектов 5) зачет с помощью ассистентов 6) беседа с учителем по новым темам курса 7) рассказ ученика и сообщение 8) ответы с места на ? учителя 9)ответы на ? самих учеников, котор задаются друг другу

Формы письменного контроля:

1) Самостоятельные письм работы с рецензией соседа по парте 2) самост письм работы с рецензией лучш учеников класса 3) письм диктанты по формулам, понятиям, определениям пройд темы 4) ответы на ? по перфокарте 5. Составл алгоритм прим теории на практике 5) Проверка контр работ самими уащимися по прав выбранному образцу 6. Составл схем и рисунк с указанием на них составных частей изображ объекта 8) составл схем-плана ответа 9) кроссворды

Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.

Уч-ся затрудняются в усвоении д-в, нередко заучивают их механически, не осознают необходимости д-в. Эти затруднения являются следствием сложившейся практики обучения, в которой не выдерживается постепенность в переходе от индуктивных методов, исп. в 5-6 кл., к дедуктивным, встреч. при изучении геометрии. В школе недостаточное внимание уделяется выявлению сущности д-ва, его преимуществ – общности, точности и объективности. Актуальной является такая организация работы с уч-ся, когда они убеждаются в необходимости д-в и создаются условия для должного и сознательного усвоения их.

Теоремы док-ются по двум основаниям: 1) по построению цепочки рассуждений (прямое и косвенное) 2) по математическому аппарату, используемое в д-ве.

Прямое – основывается на каком-нибудь несомненном начале на основе которого непосредственно рассуждениями устанавливается истинность теоремы. Доказательные методы: синтетический (при построении цепочки рассуждений основная мысль двигается от условия теоремы к ее заключению), аналитический (обратное движение мысли от заключения теоремы к условию), ММИ.

+листочек распечатки

1.22Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.

В процессе обучения школьники должны овладеть не только конкретными математическими знаниями, но и знаниями о способах, средствах и формах рациональной учебной деятельности. Учебный процесс следует строить так, чтобы ученик осознал структуру учебного материала, необходимость освоения основного содержания, и имел определенную свободу в выборе средств обучения.

Определив содержательно-математические уровни учебного материала и индивидуально способности учеников, нужно постоянно и последовательно ставить перед ними более высокие цели для углубления знаний и умственного развития. Ученик принимает более высокие цели в обучении, если находится в условиях, вызывающих желание учиться на пределе своих возможностей. Такие условия создаются в ученической среде, где осуществляется педагогика сотрудничества..

В условиях внутренней дифференциации обучения математике школьники довольно быстро начинают понимать преимущества работы на более высоких уровнях, в результате возрастает их прагматизм и сознание учебы.

Идея личного свободного выбора цели. Заметим, что дети довольно быстро развиваются, когда участвуют в учебном процессе в роли учителя. Основным противоречием, которая есть в цикле обучения, является проблема осмысления и первичного усвоения теоретического материала. Идея опережающими темпами. Создается атмосфера, в которой ученик не "привязывается" жестко до программы и не ждет, когда ему предлагают небольшую порцию нового материала. Дело в том, что одному ученику для осмысления и усвоения нового теоретического материала по той или иной теме достаточно 2-3 уроков, а другому — 5-6 уроков. При дифференцированных обучениях математике теория главы усваивается более подготовленными учениками быстро и им предоставляется пространство для развития математических способностей в основном через решение содержательных задач, обобщение задач, освоение различных приемов учебной деятельности. Таким ученикам можно опережать учебную программу не столько по теории, сколько именно через задачи. При решении многих задач по алгебре и по геометрии возникает ситуация, когда для осуществления плана решения нужно знать некоторые новые формулы или теоремы. Накопленный математический опыт позволяет таким ученикам самостоятельно открывать эти формулы или теоремы и обосновывать их. Такое наперегонки естественное в умственном развитии подростков и по сути способствует становлению способного ученика как интеллектуально развитой личности. Менее подготовленные ученики, зная основные формулы и теоремы, постепенно учатся применять их на доступном материале. При таком подходе они также качественно усваивают учебный материал на соответствующем уровне.

Таким образом, дифференцированная учебная деятельность развивает всех учащихся. Дети усваивают знания и умения, у них формируется внутренняя потребность в знаниях. Учеба имеет творческий характер и связана с преобразованием учебного материала.

Полезное решение одной задачи несколькими методами или решение внешне похожих (по условию) задач, которые требуют различных методов или подходов.Интеграция содержания математического образования осуществляется в соответствующих технологиях обучения.

1.23Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.

В процессе обучения школьников математике важное место имеет развитие и формирование их памяти. Существование краткосрочной и долгосрочной памяти у человека обусловливает и определяет стратегию познавательной деятельности. Обучение математике при линейном подходе к преподаванию учебного материала дает основную нагрузку на краткосрочную память: иллюстративные примеры, репродукции, поиск решения — восстановление алгоритмов, шаблон. Если отсутствуют систематические обобщения и повторение, то знания не переносятся в долгосрочную память и почти полностью забывают учеником. При решении задач интегрированного содержания процессы хранения, поиска и извлечения информации из памяти имеют совсем другой характер: сначала — прогнозирование, прикидка возможных способов решения учебной задачи, составляется осмысленный план ее решения, рассчитанный на несколько этапов, далее — осуществление плана с возможными корректировками его в ходе решения, наконец, завершено решение уточняется, проводится его рационализация. С долгосрочной памяти извлекается информация, позволяющая убедиться в рациональности выбранного пути решения или проверяются альтернативные идеи. Постоянное повторение таких процедур развивает и формирует долгосрочную память школьника. Обменные процессы в памяти приобретают новые качества, аналитико-синтетическая деятельность учащихся поднимается на уровень творческого мышления.

Продуктивность памяти характеризуется ее объемом, протяженностью, скоростью, точностью и подготовленность. Значительное влияние на запоминание и накопление знаний имеет завершенность или незавершенность умственных действий. Известно, что если решение задачи не завершено, то задача запоминается гораздо лучше, чем сразу выполненное задание (эффект Зэйгарник). Важнейшим и ответственным моментом в процессе поиска информации в памяти является локализация идеи решения. Поиск идеи базируется на интегрированных представлениях о различных видах когнитивной деятельности.

Идеи решения представляют собой ассоциированные опоры, которые могут быть взяты за основу решения. Удачные идеи (удачный выбор) оставляют глубокий отпечаток в долгосрочной памяти и являются стимулами для новых идей. Овладение учащимися общими методами решения задач подкрепляет эти идеи и является надежным компонентом при актуализации необходимой информации из долговременной памяти.

Как известно, основными процессами памяти являются запоминание, сохранение и восстановление информации. Психолога-педагогические исследования показывают, что произвольное запоминание наиболее эффективное, если осуществляется в процессе интенсивной умственной деятельности без принуждения на запоминание тех или иных понятий и их свойств; поэтому запоминается лучше то, что находится в динамике, постоянном развитии.

Развитие логического мышления и воспитание школьников при обучении математике.

Помимо освоения значительного объема математических знаний у школьников необходимо сформировать логическое мышление, носителем которого являются следующие логические знания (относящихся не только к математике):

1) уметь определять понятие и уточнять с помощью определений смысл используемых слов;

2) знать логический словарь;

3) знать правила классификации;

4) уметь выделять логическую структуру сказал;

5) правильно применять логические связки;

6) уметь правильно рассуждать и проверять эту правильность, находить и искоренять логическ ошибки;

7) знать наиболее распространенные методы и приемы доказательства.

Понятно, что перечисленные интеллектуальные знания ученик приобретает не только при изучении математики, но именно математика оказывает наибольшее влияние на их формирование.

Школьная математика — сложный и интересный предмет. Его изучение воспитывает у школьников трудолюбие, волю, точность в мыслях и действиях. Точность и общность математических понятий и методов, гармония чисел и геометрических объектов, силу и притягательность математической языка вызывают у учеников увлечение предметом и способствуют их эстетическому воспитанию.

Выводы и предложения.

Классификация анализа по времени педагогической деятельности

В современной дидактике выделяют основные виды анализа урока, определяющие время его проведения: предваряющий, текущий, ретроспективный (Е.С. Ильинская).

Предваряющий анализ соотносится с этапом подготовки учителя к уроку, когда возникает идея, замысел будущего урока без его временных и пространственных границ. Он сводится к анализу предусмотренного программой учебного материала, выдвижению целей и задач урока, определению методов, способов и приемов изложения материала, а также условий проведения занятия. В процессе такого анализа разрабатывается план или конспект конкретного урока.

Текущий анализурокаосуществл учителем во время его непосредственного проведения, которое часто сопровождается возникновением различных непредвиденных ситуаций.

Этот вид анализа урока предполагает высокий уровень оперирования учителем предметными, психологическими, педагогическими и методическими знаниями, принятие правильных решений в неординарной обстановке при дефиците времени. Он является показателем его профессионализма.

Ретроспективный анализ урока является завершающим этапом в деятельности учителя по организации и проведению урока. Он играет исключительно важную роль в процессе совершенствования педагогического мастерства.

Данный вид анализа предполагает обсуждение результатов реализации запланированного образа урока, отраженного в виде его конспекта.

При проведении анализа урока необходимо следовать определенным правилам, соблюдение которых способствует созданию атмосферы комфортности и взаимоуважения в процессе обсуждения, что позволяет учителю объективно оценить замечания, советы и рекомендации коллег по совершенствованию урока.

Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.

Методика преподавания математики — наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп и способностей; методика обучения математике — это педагогическая наука о за­дачах, содержании и методах обучения математике. Цели математике: общеобразовательные (овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов в соответствии с программой), воспитательные (формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду), развивающие (развитие логических структур и математического стиля мышления), практические (формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).

Основными задачами методики преподавания математики явля­ются: определение конкретных целей изучения математики по клас­сам, темам, урокам; отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными возможностями учащихся; разработка наиболее рациональных методов и организацион­ных форм обучения, направленных на достижение поставленных це­лей; выбор необходимых средств обучения и разработка методики их применения в практике работы учителя математики.

Предметом методики обучения математике являются цели и содержа­ние математического образования, методы, средства и формы обуче­ния математике.

Методика обучения математике связана с такими науками, как фи­лософия, психология, педагогика, логика, информатика, история ма­тематики и математического образования, физиология человека, и прежде всего с математикой — ее базовой дисциплиной. Цель методики — отобрать основные данные математической науки и, дидактически обработав и адаптировав их, включить в содержание школьных курсов математики. Философия разрабатывает методы познания, которые используют­ся в педагогических, методических исследованиях и в обучении мате­матике: системный подход (компоненты методики преподавания ма­тематики и их взаимосвязь); методы научного познания (аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование и т. д.); философские за­коны; диалектический метод познания. Логика исследует законы «правильного» мышления. Такие понятия, как выражение, теорема, доказательство, уравнение, правило вывода, являются логическими понятиями. Формирование мате­матических понятий осуществляется на основе логических законов. Методика преподавания математики тесно связана с педагогикой, в частности с дидактикой. В дидактике основным отношением, ха­рактеризующим обучение, является «преподавание — учение», в ме­тодике — «преподавание — учебный материал — учение. Методика обучения математике ориентируется на особенности уча­щихся определенных возрастных групп с использованием закономер­ностей индивидуальных особенностей школьников в определенном возрасте (память, мышление, внимание и т. д.). Влияние психологии на методику обучения математике усиливается в связи с внедрением личностно ориентированного образования, характеризующегося усиле­нием внимания к ученику, его саморазвитию, самопознанию, к воспи­танию умения искать и находить свое место в жизни. В последнее время, в связи с развитием информатики, усиливается ее влияние на методику обучения математике: формируется определенный стиль мышления, связанный с использованием компьютера, кодированием информации; применяются информационные технологии, ориенти­рованные на повышен

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.