Что такое сложение в математике

  • автор:

Сложение (математика)

Сложение (прибавление) — одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае — два числа). Более строго сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a+b.

Содержание

Определение сложения

Арифметика

В арифметике сложение (прибавление) есть бинарная операция, определённая на множестве натуральных чисел, которая удовлетворяет следующим свойствам:

  1. а + 1 = a’
  2. a + b’ = a’ + b = (a + b)’

где a’ обозначает натуральное число следующее за а.

Таблицу сложения см. например для десятичной системы счисления.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре сложением может называться любая бинарная коммутативная и ассоциативная операция. В случае, если на этом множестве определено также умножение, то сложение предполагается дистрибутивным по отношению к нему.

Свойства сложения в арифметике

Сложение обладает следующими свойствами:

a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c

    (переместительный закон): a + b = b + a (сочетательный закон): (a + b) + c = a + (b + c) относительно умножения (распределительный закон):

В других системах (чисел, объектов) любое из этих свойств может не выполняться.

Запись при помощи буквы Σ

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Сложение (математика)» в других словарях:

Математика инков — Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока  юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

Сложение — У этого термина существуют и другие значения, см. Сложение (значения). Сложение (прибавление)  одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае  два числа). Более … Википедия

Математика в Древнем Египте — Данная статья  часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция  отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия

Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо  это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Дробь (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13        числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике  число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия

Сложение

Данные числа в сложении называются слагаемыми, а искомое — суммой.

Сумма заключает в себе столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых.

При сложении двух чисел одно число увеличивается на столько единиц, сколько их содержится в другом числе. Сложить одно число с другим значит прибавить одно число к другому.

Знак сложения. Действие сложения обозначается знаком + (плюс).

Сложение однозначных чисел

Чтобы обозначить, что нужно сложить числа 2, 7, 8, 9, 6, пишут эти числа рядом, помещая между ними знак сложения +:

Для сложения прибавляют к первому числу второе, затем к полученному результату прибавляют третье число и т. д., до последнего числа.

Самый ход вычисления выражают письменно:

2 + 7 + 8 + 9 + 6 = 32,

2 да 7 составляют 9, 9 да 8 составляют семнадцать, 17 да 9 — двадцать шесть, 26 да 6 — тридцать два.

Числа 2, 7, 8, 9, 6 являются слагаемыми, а число 32 есть сумма.

Основное свойство суммы. Сумма не изменится, если мы сложим те же числа в другом порядке, так как в этом случае сумма будет содержать те же самые единицы, следовательно, сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

На этом свойстве суммы основываются все правила сложения.

Сложение многозначных чисел

Чтобы обозначить, что нужно сложить несколько многозначных чисел (2302, 495, 30) обыкновенно пишут:

Мы можем рассматривать каждое число состоящим из единиц, десятков, сотен и т. д. Зная, что сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых, мы можем отдельно складывать между собою единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.

Чтобы облегчить сложение, подписывают слагаемые числа одно под другим так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т. д., то есть, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце. Затем проводим черту, чтобы отделить слагаемые от суммы.

В нашем примере числа должны быть написаны так:

Ход вычисления выражается словесно:

Начинаем сложение с единиц: 2 да 5 составляют семь; подписываем под единицами 7.

Складываем десятки: 9 да 3 составляют 12; 12 десятков составляют одну сотню и 2 десятка; подписываем под десятками цифру 2, а единицу прибавляем к сотням, надписываем ее над сотнями, или как обыкновенно выражаются: замечаем ее в уме.

Складываем сотни: 1 (в уме) да 3 составят 4, 4 да 4 составляют 8; подписываем под сотнями 8.

Складывая тысячи, получаем 2.

Само действие выразится письменно:

Сложение в столбик

Пример. Складывая числа 3275 + 41297 + 135 + 97, имеем:

Пример сложения в столбик

Из предыдущих примеров выводим правила сложения:

Чтобы сложить целые числа, нужно подписать слагаемые одно под другим так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, то есть единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д., провести черту и отделить таким образом слагаемые от суммы.

Сложение нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя от правой руки к левой к следующим столбцам, складывают десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.

Если при сложении простых единиц получится в сумме 9 или число меньше 9-ти, нужно подписывать его под столбцом единиц. Если же в сумме получится число больше 9, цифру единиц подписывают под столбцом единиц, а число, выражающее десятки, присоединяют к следующему столбцу.

При сложении столбца десятков нужно поступать подобным же образом и продолжать сложение, пока не получим полной суммы.

Сложение

где a’ обозначает натуральное число следующее за а.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре, сложением может называться любая бинарная коммутативная и ассоциативная операция. В случае если на этом множестве определено также умножение то сложение предполагается дистрим по отношению к нему.

Свойства сложения

Сложение обладает следующими свойствами:

  • коммутативностью: a + b = b + a
  • ассоциативностью: (a + b) + c = a + (b + c)
  • дистрибутивностью относительно умножения: a · (b + c) = a·b + a·c

Запись при помощи буквы Σ

Историческая справка [1]

Знаки сложения и вычитания в их современном виде впервые появляются у Яна Видмана ( J. Widmann, 1460—XVI в.) в книге «Быстрый и красивый счёт для всего купечества» (Лецпциг, 1489). Предполагают, что знак «<\displaystyle +>» width=»» height=»» />» возник из латинского et (и) из-за сходства с «t». Возможно, что знак «—» обозначал у купцов вычёркивание, убыль.</p>
<h2>Свойства сложения и вычитания</h2>
<p>Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.</p>
<p>В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.</p>
<h3>Свойства сложения</h3>
<h4>Переместительное свойство сложения</h4>
<p>Запомните! <img loading=

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде свойство записывается так:

В этом равенстве буквы « a » и « b » могут принимать любые натуральные значения и значение 0 .

Сочетательное свойство сложения

Запомните! !

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

В буквенном виде:

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто « a + b + с ».

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.

Запомните! !

При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.

Свойство нуля при сложении

Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.

Запомните! !

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Запомните! !

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

Скобки в выражении « (a − b) − c » не имеют значения и их можно опустить.

Свойство вычитания числа из суммы

Запомните! !

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Свойство нуля при вычитании

Запомните! !

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.