Это математика сколько

  • автор:

Что такое математика?

Что такое математика?

В виду определенных нужд и потребностей человека, возникла такая наука, как математика. И она неразрывно связана с естествознанием и техникой. Что такое математика и, что она изучает, давайте рассмотрим.

Наука математика

Никого не удивишь тем, что с математикой человек встречается на каждом шагу. Что такое математика? Греческое слово «матема», является производным слова математика. Означает оно — знания, наука. Знаниями арифметики и геометрии обладали еще древние египтяне и вавилоняне. С годами, из-за накопления фактов и исследований в области математики, определение этой науки менялось.

Поэтому, на вопрос, что такое математика, сегодня можно ответить так: это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы.

Определение кажется непонятным, но это современная формулировка. Ведь математика изучает сама себя, она имеет дело с идеальными моделями, а не реальными. Но при этом, математик ловко манипулирует числами и умеет логически мыслить.

Что это — математика?

Однозначного ответа на вопрос о том, что такое математика, даже сегодня еще не существует, несмотря на то, что данная наука зародилась достаточно давно, практически на заре цивилизации. На протяжении всего времени она обогащалась, все больше при этом утверждаясь и обновляясь в качестве способа познания закономерностей окружающего мира.

Благодаря расширению и изменению многогранных связей математики с практикой, человечеству предоставляется уникальная возможность открывать и использовать те или иные законы природы. В нынешнее время она является поистине могучим и мощным двигателем техники и науки.

Что такое математика? Интересует это многих, но ответить на данный вопрос непросто. Безусловно, каждый способен дать свой собственный ответ, который будет зависеть от уровня его математических знаний. Для ученика средней школы это обобщенное название арифметики, алгебры, геометрии и начал анализа. Для студента технического ВУЗа это – наука, состоящая из нескольких десятков отдельных разделов.

Следует отметить, что число таких разделов со временем неустанно увеличивается, так как по мере своего развития современная математика постоянно обогащается новыми сведениями. Ну, а для маленького ребенка эта наука заключается в умении считать. Тем не менее, вся наша жизнь неразрывно связана с решением разнообразных математических задач.

Аналогично определению, что такое математика, не существует и общепринятого четкого определения предмета данной науки. В прошлом считалось, что решение таких задач заключается в измерении величин либо чисел. Но спустя некоторое время возникло определение математики как учения о бесконечных величинах.

Современный мир рассматривает математику как науку о математических структурах. Данный термин был введен группой французских математиков, известных миру под псевдонимом Бурбаки.

Данная наука не является произвольным творением мысли. Она отображает объективный мир в несколько абстрактном виде. Ее изучения основаны на понятиях, полученных путем абстрагирования от явлений непосредственно реального мира и, кроме того, от предыдущих абстракций.

Возникновение таких абстракций тесно связано с реальной действительностью. Более того, после решения той или иной математической задачи ее результат фиксируется, а затем применяется к различным явлениям, физическая природа которых существенно отличается друг от друга.

К примеру, изучение математики нередко сводится к решению конкретных задач: как найти скорость размножения бактерий, как изменяется атмосферное давление, или как определить скорость радиоактивного распада. При этом решение всех этих задач сводится к одному и тому же дифференциальному уравнению.

Подобную абстрактность довольно сложно не только понять, но и прочувствовать взрослому, а тем более ученику. Именно поэтому так важно сделать изучение математики доступным каждому. А для этого требуется соблюсти баланс конкретики и абстракции, интуитивности и строгости, не утратив легкости объяснений сложных понятий.

Безусловно, сегодня трудно найти кого-то, кто не имел бы представления о том, что такое математика. Но, как правило, многие ошибочно полагают, что это всего лишь арифметика, подразумевающая изучение чисел и определенных действий с их помощью, таких, как умножение или деление.

Но если углубиться в данную науку, можно понять, что на самом деле это понятие намного объемнее. Ведь математика является своеобразным способом описания мира и сочетания одних его частей с другими. В математических символах, описывающих Вселенную, выражаются взаимоотношения чисел.

Но как понять математику? Это уже отдельный вопрос. Подобный процесс требует терпения, желания и внимания. Однако все не так сложно. Каждому свойственно преуспевать в математике, поскольку доказано, что «ощущение числа» является врожденной способностью.

Никакого результата зазубривание аксиом, теорем и заучивание формул, к сожалению, не даст. Главное – это понимать суть математической теории и ее законов. И особого внимания требует умение делать выводы из тех утверждений, которые были поставлены.

Частное число в математике

Наряду с сложением, вычитанием, умножением, возведением в степень и извлечением корня, деление является одним из основных математических действий.

Деление — это простое арифметическое действие, обратное умножению.

То число, которое мы делим называется делимым. Число, на которое мы делим делимое, носит название делителя. Результатом операции или математического действия деление является третье число, которое называется частным.

Другими словами, частное — это результат или итог деления. Делимое мы делим на делитель и получаем частное. Например:

100 : 5 = 20, в данном случае 100 — делимое, 5 — делитель, 20 — частное.

Иногда делимое разделить на делитель нацело нельзя, в результате деления получается целое число и остаток, который должен быть меньше делителя. Остаток можно быть записан в виде обычной дроби ( например, 2/3 ) или в виде десятичной дроби ( например, простую дробь 2/3 можно записать в виде десятичной дроби

0,667 ). Такое частное называется неполным.

101 : 5 = 20,2 — неполное частное.

Что значит частное чисел. Что такое частное в математике

1. Введем определение этого понятия. Частным чисел называется результат деления одного из чисел на другое. Частное чисел — это математическая величина.

2. Наглядное представление: a / b = c.

  • а — делимое;
  • b — делитель;
  • c — частное.

3. Пример 1. 156 / 2. Если поделить число 156 на 2, то в результатом будет число 78. В этом случае число 78 представляет собой частное двух чисел, результат от деления числа 156 на 2. 156 — делимое, 2 — делитель. Число 156 больше, чем число 2, в 78 раз. Данные умозаключения можно проверить, достаточно лишь выполнить операцию, обратную делению. 78 * 2 = 156. Верно.

4. Усложненный пример. 153214 / 2. 153214 — делимое, 2 — делитель.

  • Делим 15 на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 15 полученное значение и получаем 1.
  • Спускаем 3. 13 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 13 полученное значение и получаем 1.
  • Спускаем 2. 12 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 12 полученное значение и получаем 0.
  • Спускаем единицу, прописываем ноль. Спускаем 4. 14 делим на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 14 полученное значение и получаем 0.

Неполное частное

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Приведем пример: 157 / 3. 157 — делимое, 3 — делитель. При делении мы получаем, что число 3 содержится в числе 157, 52 раза, но образуется еще и остаток, который равен единице. В данном случае число 52 будем называть неполным частным. Число 1 — это остаток от деления числа 157 на 3.

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел.

Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем.

Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое.

Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Частное — это что такое? Можно услышать о множестве вещей и процессов, которые используются с этим словом. Что же оно значит?

Общая информация

Частное — это значит, что что-то принадлежит одному человеку или же относительно небольшой группе людей. Причем они объединены на добровольной основе, а не в приказном порядке (как пример можно в последнем случае привести коммунальные предприятия). А это, в свою очередь, обозначает определённую специфику. Также, когда говорят про частное, это может означать отдельный, весьма редкий или вообще единичный случай чего-то. Кроме этого, так называется одноименный математический оператор.

Как видите, слово «частное» — это весьма широко используемый инструмент нашего языка. Чтобы лучше понять его использование, давайте рассмотрим его применение на практике. Для полноты обзора будет уделено внимание и общему примеру, и частному. Итак, приступим.

Общий пример

Сейчас нами будет рассмотрена частная собственность. Как уже ранее говорилось, так называется всё, что принадлежит отдельному человеку или небольшой группе людей, которые объединились на добровольном основании. В качестве иллюстрации можно привести такое понятие, как дача. Что это? Так называют землю и постройки, которые принадлежат определённому человеку или группе (семье). Это на которую посторонним входить без разрешения хозяев запрещено. В случае нарушения к ним могут быть применены силовые методы для задержания с последующей передачей правоохранительным органам.

Частная собственность — это одна из основ капитализма, поэтому она охраняется со всей строгостью. Нарушение этого принципа подрывает устои современного капитализма и ведёт к различным, как правило негативным, последствиям. Хотя у нас защищен любой тип собственности, нажитый законным путём, так уж повелось, что именно частная представляет наибольший интерес для подавляющего количества людей.

Частный пример

А сейчас давайте рассмотрим использование этого слова с немного иной точки зрения. Только теперь для нас интерес будут представлять не физические лица, а юридические. Мы рассмотрим частное предприятие. Это означает, что оно принадлежит определённому человеку или группе и было создано на добровольческих основаниях. Но при этом оно не претендует на определённые материальные ценности. Так, есть объекты коммунальной собственности, например — парки. Они находятся в ведении коммунальных служб городов, где расположены.

Частные предприятия могут претендовать на определённое количество земли, необходимое для ведения деятельности, но это подразумевает использование только определённых типов территории. Причем следует отметить статус, который имеет юридическое лицо. Если взять, к примеру, гипотетическое село, и там одновременно будет действовать и частное, и В обоих могут состоять все жители. Но тем не менее у них будут различные полномочия и возможности, от которых уже будет зависеть осуществляемая деятельность и конечные цели.

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел. Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем. Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое. Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого. a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Приведем пример: 157 / 3. 157 — делимое, 3 — делитель. При делении мы получаем, что число 3 содержится в числе 157, 52 раза, но образуется еще и остаток, который равен единице. В данном случае число 52 будем называть неполным частным. Число 1 — это остаток от деления числа 157 на 3.

Большинство людей, окончивших среднюю общеобразовательную школу, имеют достаточно хорошее представление о том, что такое частное чисел в математике. Но тем не менее, давайте дадим определение этому термину.

Частное числа: значение

Частное чисел — это математическая величина, полученная при делении одного числа на другое. Частное показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

Если записать операцию деления в виде простой формулы

  • a: b = c,

то в ней a — это «делимое», b — это «делитель», а c — это и есть «частное».

Рассмотрим также пример с конкретными цифрами. Если мы поделим число 39 на 3, то в ответе получим число 13. В данном случае 13 — это частное, результат деления числа 39 на 3. Другими словами можно сказать, что число 39 больше, чем число 3, в 13 раз.

А давайте задумаемся, так ли это на самом деле? Чтобы понять, ошиблись мы или нет, произведем проверку и выполним действие, обратное делению. Как вы, наверное, уже догадались, это умножение. Умножим число 13 на 3. В ответе получается 39. Мы не ошиблись.

Неполное частное

О приведенном выше математическом примере можно сказать, что число 3 содержится в числе 39 ровно 13 раз. Однако в большинстве реальных случаев такой красивый и простой ответ получить невозможно. Сколько раз, например, число 3 содержится в числе 40?

Данная математическая операция записывается следующим образом:

  • 40: 3 = 13 (1).

Что означает эта запись? Число 3 содержится в числе 40 тоже 13 раз, но при этом еще образуется остаток, равный 1. В данном случае число 13 называется «неполным частным», а число 1 — «остатком от деления».

Чтобы отличать друг от друга участвующие в математической операции деления числа, им присвоены собственные . Определением «частное» результат этой операции, а три других задействованных в этом действии компонента обозначены как «делимое» (число, которое подвергается делению), «делитель» (количество единиц деления) и «остаток» (произведение дробной части частного на делитель). Например, при целочисленном числа 48 на 5 частным будет являться 9, делимым – 48, делителем – 5, а остатком от деления – 3.

Если операция содержит одну или несколько переменных, то частное не будет целым или дробным , это может быть и математическое выражение. В общем случае можно считать частным все, что стоит после знака равенства в тождестве, левая часть которого является операцией деления. Например, 6*x²+12 на 3 частным будет выражение 2*x²+4.

Иногда вместо термина «частное» используют «отношение». Например, если вы назовете результат деления 48 на 5 любым из этих двух определений, то будете в одинаковой правы. Однако чаще термин «отношение» применяют к левой части тождества, то есть к еще не осуществленной операции деления, а «частным» правую часть, то есть полученный результат.

Слово «частное» применяется не только как математический термин, есть и другое широко используемое понятие, обозначаемое точно так же. Часто это слово в качестве прилагательного употребляется для того, чтобы подчеркнуть противопоставление отдельно взятой единицы общему целому — например, «частное мнение». В юриспруденции понятие «частное» эквивалентно понятию «негосударственное» — например, «частная собственность» или «частное право».

  • что такое частное чисел

Частным предприятием признается такая организационно-правовая форма собственности, при которой все имущество принадлежит одному или нескольким владельцам. Гражданское право РФ относит к его разновидностям: семейное предприятие, индивидуальное предпринимательство, открытие ООО и ЗАО.

Индивидуальный предприниматель – физическое лицо, которое занимается предпринимательством без образования юридического лица. Тем не менее, ИП должен пройти процедуру государственной регистрации, установленную Гражданским кодексом. Частный предприниматель по своим рискам отвечает имуществом предприятия. Он занимается получением прибыли исключительно на собственный страх и риск. Заниматься подобной деятельностью не имеют право сотрудники госорганов и органов муниципалитета.

Семейное предприятие схоже по организационно-правовой форме индивидуальному предпринимательству. Оно основывается на труде и усилиях одной семьи, а не одного человека. Семейное предприятие регистрируется в упрощенном порядке в налоговых органах. Послабления семейному бизнесу предусмотрены и в размере уплачиваемых предприятием налогов.

ООО как «общество с ограниченной ответственностью». Это предприятие, уставной капитал которого складывается из долей одного или нескольких участников. В случае необходимости они отвечают по обязательствам ООО той суммой, которую вкладывали в бизнес. Поэтому для ООО обязательно должен быть установлен минимальный размер уставного капитала. Основной целью его создания служит получение финансовой прибыли. Сразу после образования подобного коммерческого предприятия, законодательство требует создать орган управления, который обычно состоит из нескольких учредителей. Это наиболее распространенная форма образования юридического лица.

Закрытое акционерное общество тоже образовывается несколькими учредителями для извлечения прибыли. ЗАО выпускает определенное количество акции, которые могут быть распространены только среди акционеров этого предприятия. Законом установлено максимально возможное число акционеров – их должно быть не более пятидесяти.

Предпринимательство – способ проявления личной инициативы, рассчитанный на стабильное получение прибыли в ходе организации собственного бизнеса. Человек, организующий бизнес берет на себя все страхи и риски, которые могут возникнуть в ходе деятельности.

Предпринимательство разделяется на и частное. Первое предполагает под собой различные воздействия на субъекты деятельности, второе же является индивидуальным самовыражением, ведущее свою деятельность без какого-либо вмешательства государства.

Предпринимательская деятельность подлежит обязательной государственной регистрации. Лицо, желающее организовать свой бизнес, обязано зарегистрироваться в Федеральной налоговой службе по месту прописки. В случае ведения деятельности без свидетельства, его действия классифицируются как незаконные и влекут за собой соответствующее наказание.

Сфера деятельности предпринимательства обширна. Это может быть производство, услуги или коммерция. В любой сфере деятельности материально-ответственным лицом является предприниматель (ИП). Именно он рискует всеми вложенными средствами в свое дело. По законодательству РФ ИП отвечает всем своим имуществом по всем обязательствам.

Предпринимательство – это поиск сфер с целью самореализации и получения при этом некоторой прибыли. Предприниматель должен обладать определенными качествами характера. Из них можно выделить: целеустремленность, предприимчивость, умение находить выгоду в любой ситуации, умение анализировать ситуацию, трудолюбие, рискованность, настойчивость, умение убеждать, умение и желание постоянно совершенствоваться.

В России на данный момент − еще не достаточно развитое явление, ввиду ряда сдерживающих факторов, мешающих его полноценному развитию. Одним из них является недостаточная поддержка со стороны правительства. Предприниматель должен вкладывать свои собственные сбережения на свой страх и риск для развития, либо кредитоваться в банке. Для стабильного развития необходима поддержка со стороны государства, как в экономической сфере, так и в политической и правовой.

Среди видов деятельности существуют и такие, значение которых понимаешь не сразу — порой приходится найти дополнительную информацию и лишний раз подумать. Так, например, под регулируемым видом деятельности подразумевают монополию… Но какую именно монополию, и что значит этот термин в принципе?

Монополия и регулируемый вид деятельности — какая связь?

Связь у этих двух понятий весьма крепка: под контролируемой деятельностью чаще всего подразумевают деятельность государственных или естественных монополий. Деятельность государства в отношении субъектов таких монополий и называется «контролирующей» или «регулирующей»: государство само устанавливает цены и тарифы на услуги субъектов естественных и, разумеется, государственных монополий.

Почему этот вид деятельности имеет место быть?

Естественные монополии потому и называются естественными, что образуются без каких-либо искусственных вмешательств из внешней среды или в результате сговоров или нейтрализации конкурентов.

Но как же отличить государственную монополию от естественной?

Под государственной монополией подразумеваются компании и корпорации, генеральным директором которых может быть частное лицо, но 51% акций будет принадлежать государству. В России среди этих компаний: РЖД, Роснефть, Газпром и другие.

Естественные же монополии образуются в результате того, что на рынке не существует конкуренции в сфере предоставления подобных услуг, а услуги и товары, предоставляемые субъектами естественных монополий, являются незаменимыми.

Одна из самых больших естественных монополий, являющихся в то же время регулируемой государством, это сервис услуг ЖКХ в России, деятельность которого финансируется и контролируется правительством РФ.

Взаимодействие регулируемых организаций и государства

Почему все предприятия не могут быть частными? Ведь у нас рыночная экономика!

Даже в рыночной участие государства просто необходимо. Нигде не существует чисто рыночной системы, ни в России, ни в странах Запада, ни на Востоке, тем более.

Организации, которые подконтрольны государству, оправдывают свое существование тем, что во время экономического спада выступают в роли «буфера», который смягчает потери национальной экономики в принципе. Также, многие из подконтрольных или регулируемых организаций являются национально важными.

Государство также может преследовать идеологические или стратегические цели при установлении монополий. Так, возможная монополия на производство спирта, предполагается, снизит уровень потребляемого населением алкоголя.

Так, в РФ также существует монополия на производство оружия, которая, разумеется, имеет свой стратегический смысл: если бы существовали частные компании, это бы подразумевало необходимость их контролирования, лицензирования, лишних временных затрат.

Что бы было, если бы владельцы Аэрофлота, ЖКХ или РЖД начали искусственно завышать цены? Это бы привело к социальному напряжению. А в случае полного контроля над этими организациями, государство имеет все рычаги влияния на них и, соответственно, цены на услуги первой необходимости (транспорт, горячая вода) контролируются государством, а не очередным капиталистом, единственным желанием которого является желание побольше заработать.

Многозначность свойственна не только лексемам бытового языка, но и терминам, если они употребляются в различных областях знания. Общее семантическое ядро, термин, безусловно, сохраняет, но частное значение имеет разное. Так, для примера этого явления языка можно рассмотреть слово «регистр»

Слово регистр можно трактовать по–разному, ведь используется оно в двух разных сферах деятельности: бухгалтерском учете и программировании. Регистры в бухгалтерском учете содержат информацию, которая со временем накапливается, систематизируется и регистрируется. Бухгалтерские регистры ведутся в специальных журналах (книгах) в виде машинограмм и с использованием специальной вычислительной техники.

Регистры в бухгалтерском учете разделяют на несколько видов:- бухгалтерские книги – пронумерованные и скрепленные листки бумаги с определенным набором таблиц;- карточки – стандартные листы бумаги, которые хранятся в картотеке. Карточки могут содержать графы дебет и кредит, графы расхода, прихода и остатка или сразу несколько граф;- ведомости – отдельные листы бумаги, большего размера, чем карточки. Ведомости обычно открывают на месяц и хранятся они в специальных регистраторах.

Все записи в бухгалтерских регистрах выполняются от руки и только шариковой ручкой синего цвета. По окончанию срока действия регистра все записи, сделанные в нем, сверяются, после чего листы регистра скрепляются и сдаются в архив организации.

Помимо бухгалтерского учета регистр используется и среди программистов. Компьютерный регистр – это отдельный участок памяти , длина которого составляет от 8 до 32 бит. Регистр нужен для временного хранения информации, обрабатываемой самим процессором. Компьютерные регистры, также как и бухгалтерские, подразделяются на несколько видов:- регистры . Эти 32–ухбитные регистры используются для математических операций или записи данных в память компьютера;- регистры сегментов. Это 16–тибитные регистры, которые содержат в себе первую половину адреса программы, исполняемой в данный момент;- регистры управления. Это 32–ухбитные регистры, которые устанавливают нужный режим работы компьютера и распределяют память

Частное 2 чисел. Что такое частное в математике

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел. Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем. Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое. Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого. a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Приведем пример: 157 / 3. 157 — делимое, 3 — делитель. При делении мы получаем, что число 3 содержится в числе 157, 52 раза, но образуется еще и остаток, который равен единице. В данном случае число 52 будем называть неполным частным. Число 1 — это остаток от деления числа 157 на 3.

Только тем что у целых чисел нужно у частного посчитать знак. Как посчитать знак частного целых чисел? Рассмотрим подробно в теме.

Термины и понятия частного целых чисел.

Чтобы выполнить деление целых чисел нужно вспомнить термины и понятия. В делении есть: делимое, делитель и частное целых чисел.

Делимое – это то целое число, которое делят. Делитель – это целое число, на которое делят. Частное – это результат деления целых чисел.

Можно сказать “Деление целых чисел” или “Частное целых чисел” смысл этих фраз один и тот же, то есть нужно поделить одно целое число на другое и получить ответ.

Деление берет свое начало из умножения. Рассмотрим пример:

У нас есть два множителя 3 и 4. Но допустим нам известно, что есть один множитель 3 и результат умножения множителей их произведение 12. Как найти второй множитель? На помощь приходит деление.

Правило деления целых чисел.

Частное двух целых чисел равно частному их модулей, со знаком плюс в результате, если числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Важно учитывать знак частного целых чисел. Кратко правила деления целых чисел:

Плюс на плюс дает плюс.
“+ : + = +”

Минус на минус дает плюс.
“– : – =+”

Минус на плюс дает минус.
“– : + = –”

Плюс на минус дает минус.
“+ : – = –”

А теперь рассмотрим подробно каждый пункт правила деления целых чисел.

Деление целых положительных чисел.

Вспомним, что целые положительные числа это тоже самое, что натуральные числа. Мы пользуемся теми же правила, что и при делении натуральных чисел. Знак частного от деления целых положительных чисел всегда плюс . Иными словами, при делении двух целых чисел “плюс на плюс дает плюс ”.

Пример:
Выполните деление 306 на 3.

Решение:
Оба числа имеют знак “+”, поэтому ответ будет со знаком “+”.
306:3=102
Ответ: 102.

Пример:
Разделите делимое 220286 на делитель 589.

Решение:
Делимое 220286 и делитель 589 имеет знак плюс, поэтому частное тоже будет иметь знак плюс.
220286:589=374
Ответ: 374

Деление целых отрицательных чисел.

Правило деления двух отрицательных чисел.

Пусть у нас будут два отрицательных целых числа a и b. Нам нужно найти их модули и выполнить деление.

Результат деления или частное двух отрицательных целых чисел будет со знаком “+” или “минус на минус дает плюс”.

Рассмотрим пример:
Найдите частное -900:(-12).

Пример:
Выполните деление одного целого отрицательного числа -504 на второе отрицательное число -14.

Решение:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Записать выражение можно короче:
-504:(-14)=34

Деление целых чисел с разными знаками. Правило и примеры.

При выполнении деления целых чисел с разными знаками , частное будет равно отрицательному числу.

Не важно положительное целое число делим на отрицательное целое число или отрицательное целое число делим на положительное целое число, результат деления всегда будет равен отрицательному числу.

Минус на плюс дает минус.
Плюс на минус дает минус.

Пример:
Найдите частное двух целых чисел с разными знаками -2436:42.

Пример:
Вычислите деление 4716:(-524).

Нуль деленный на целое число. Правило.

При деление нуля на целое число ответ будет равен нулю.

Пример:
Выполните деление 0:558.

Пример:
Разделите нуль на целое отрицательное число -4009.

На нуль делить нельзя.

Нельзя 0 разделить на 0.

Проверка частного деления целых чисел.

Как говорилось ранее деление и умножение тесно связаны. Поэтому чтобы проверить результат деления двух целых чисел, нужно выполнить умножение делителя и частного в результате должно получиться делимое.

Проверка результата деления краткая формула:
Делитель ∙ Частное = Делимое

Рассмотрим пример:
Выполните деление и сделайте проверку 1888:(-32).

Решение:
Обращаем внимание на знаки целых чисел. Число 1888 положительное и имеет знак “+”. Число (-32) отрицательное и имеет знак “–”. Поэтому при делении двух целых чисел с разными знаками ответ будет отрицательное число.
1888:(-32)=-59

А теперь выполним проверку найденного ответа:
1888 – делимое,
-32 – делитель,
-59 – частное,

Делитель умножаем на частное.
-32∙(-59)=1888

Большинство людей, окончивших среднюю общеобразовательную школу, имеют достаточно хорошее представление о том, что такое частное чисел в математике. Но тем не менее, давайте дадим определение этому термину.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

  • Сложение
  • Вычитание
  • Деление
  • Умножение

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое . Есть ряд символов, которые обозначают его:

  • Двоеточие (:)
  • Косая черта (/)
  • Обелюс (тире между двумя точками ÷)

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

Запишем простой пример из математики:

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

  • Полное. В результате деления мы получаем целое число:

50 – полное частное

  • Неполное. Если в результате мы получаем остаток:

51:2=25 (остаток 1)

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

Что такое частное чисел

Задание. Найти частное чисел:

1) ; 2)

Решение. Для нахождения частного в первом примере выполним деление в столбик. Для этого запишем делимое и делитель следующим образом

Берем первую цифру слева, она не делится на 12, значит, берем две цифры: 56 и делим их на 12 с остатком. Возьмем по . Записываем 48 под 56 и находим остаток: . Восьмерку записываем под чертой и сносим к ней следующее число из делимого, получим 84. Делим 84 на 12, получаем 7. остаток от деления 0 и цифр в делимом больше нет. Деление окончено.

Таким образом,

Для нахождения частного во втором примере, сведем деление десятичных дробей к делению десятичной дроби на целое число. Для этого будем передвигать запятую вправо у делимого и делителя до тех пор, пока делимое не станет целым числом. Далее запишем полученные числа в столбик, как и в первом примере:

Берем в делимом первые две цифры слева и делим их на делимое с остатком. Получаем , можно взять по 2. Двойку записываем в частное. И так как целая часть делимого закончилась, ставим в частном запятую. Умножаем , записываем 42 под 56 и вычитаем: . Остаток 14 списываем к нему следующую незадействованную цифру делимого 7. Полученное число 147 делим на 12, получаем 7. Записываем семерку в частное, и, так как на этом делимое закончилось, а остаток после последнего деления 0, деление окончено.

В каждом разделе научных или практических знаний используются собственные понятия и определения. Они нужны человеку для того, чтобы максимально упростить понимание и применение разных явлений и действий, которые описываются при помощи этих терминов. «Частное» является таким термином, этим словом описывают одну из четырёх простейших операций в математике.

В математической операции деления участвуют несколько чисел, каждому из них присвоено определённое название. «Частным» называют результат деления, другие задействованные в этой операции компоненты обозначают как «делимое» (число, на которое делят), «делитель» (количество единиц деления) и «остаток» (представляет собой произведение дробной части частного на делитель). К примеру, при целочисленном делении числа 34 на 6 к частному будет относиться 5, к делимому – 34, к делителю – 6, а остатком от деления будет являться число 4.

Если в операции присутствует одна или несколько переменных, то частное не всегда будет представлять из себя целое или дробное число, это может быть и просто математическое выражение. В целом, к частному можно отнести всё, что находится после знака равенства в тождестве, где левая часть – это операция деления. К примеру, в случае деления выражения 6*x?+12 на 3, частным будет являться выражение 2*x?+4.

Иногда термин «частное» заменяют обозначением «отношение». Т.е., теоретически, назвав результат деления 34 на 6 любым из данных двух определений, вы будете в обоих случаях правы. Однако всё-таки чаще всего термином «отношение» называют левую часть тождества, иначе говоря, ещё не осуществленную операцию деления, а термин «частное» применяют к правой части, т. е. к полученному результату.

Слово «частное» применяют не только в качестве математического термина, существуют и другие широко используемые понятия, обозначаемые точно также. Нередко это слово употребляют в виде прилагательного для подчёркивания противопоставления – к примеру, «частное мнение». В области юриспруденции слово «частное», по сути, аналогично понятию «негосударственное» – к примеру, «частная собственность».

Деление (математика)

Запрос «Деление» перенаправляется сюда; для просмотра других значений см. Деление. 20 : 4 = 5

Деле́ние (операция деления) — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием : <\displaystyle :>, обелюсом ÷ <\displaystyle \div >, косой чертой / <\displaystyle />или горизонтальной чертой.

Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Рассмотрим, например деление 14 на 3 (14/3):

Сколько раз 3 содержится в 14?

Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 содержится в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным и число 2 — остатком (от деления).

Результат деления также называют отношением.

Формы записи и терминология

Символы деления в математике

Деление записывается с использованием одного из «знаков деления» — » ÷ , / , : , − <\displaystyle \div ,

-> » между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак деления является бинарным оператором. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

  • Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
  • Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде Acta eruditorum 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.
  • Йоханн Ран ввёл знак обелюс (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления».

В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства » = <\displaystyle =>«, например:

a : b = c <\displaystyle a:b=c>; 6 : 3 = 2 <\displaystyle 6:3=2>(«шесть разделить на три равно два») ; 65 : 5 = 13 <\displaystyle 65:5=13>(«шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать») .

В математических выражениях часто в качестве знака деления используется дробная черта. На письме знак деления очень похож на другие письменные символы. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочной идентификации символа.

Свойства

Операция деления на числовых множествах N , Z , Q , R , C <\displaystyle \mathbb ,\mathbb ,\mathbb ,\mathbb ,\mathbb > имеет следующие основные свойства:

  • Деление не перестановочно (не коммутативно) — от перемены мест аргументов частное изменяется:
  • Деление не ассоциативно — при последовательном выполнении деления трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:

( a : b ) : c ≠ a : ( b : c ) ;

  • Деление дистрибутивно справа, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон :

Дистрибутивность: ( a + b ) : x = ( a : x ) + ( b : x ) , x ≠ 0 ; <\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),

  • Относительно деления в множестве A <\displaystyle A>существует единственный нейтральный элемент справа (число 1 <\displaystyle 1>), деление на единицу (или нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:

Нейтральный элемент справа: x : 1 = x ;

  • Относительно деления в множестве A <\displaystyle A>существует единственный обратный элемент, получаемый делением единицы на число, что даёт число, обратное исходному:

Обратный элемент: 1 : x = 1 x = x − 1 , x ≠ 0 ; <\displaystyle 1:x=<\frac <1>>=x^<-1>,

  • Относительно деления в множестве A <\displaystyle A>существует единственный нулевой элемент слева — число 0 <\displaystyle 0>, делённое на любое число, даёт нуль:

Нулевой элемент слева: 0 : x = 0 , ∃ 0 ∈ A , x ≠ 0 ; <\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,

  • По правилам обычной арифметики деление на ноль 0 <\displaystyle 0>(нулевой элемент) не определено;
  • Деление на противоположный элемент даёт минус единицу:

Результат деления не всегда является определённым для множеств натуральных чисел N <\displaystyle \mathbb > и целых чисел Z <\displaystyle \mathbb > , чтобы получить натуральное или целое число в результате деления, делимое должно быть кратно делителю. Невозможно в рамках этих чисел получить дробный результат. В этом случае говорится о делении с остатком. То есть деление на этих множествах есть частичная бинарная операция.

Операция деления, определённая на множествах (в полях) рациональных Q <\displaystyle \mathbb > , вещественных R <\displaystyle \mathbb > и комплексных чисел C <\displaystyle \mathbb > , даёт число (частное), принадлежащее этому же множеству, следовательно, множества Q − 0 , R − 0 , C − 0 <\displaystyle \mathbb > ,\mathbb > ,\mathbb > > замкнуты относительно операции деления (в точке 0 имеется разрыв второго рода — следовательно кольца рациональных, вещественных и комплексных чисел разомкнуты относительно операции деления).

В математических выражениях операция деления имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

Выполнение деления

Пример пошагового деления числа 8 на число 4 на числовой прямой.

Деление является гипероператором вычитания и сводится к последовательному вычитанию. :

a : b = h y p e r — 2 ⁡ ( a , b ) = hyper ⁡ ( a , − 2 , b ) = a ( − 2 ) b = c . <\displaystyle a:b=\operatorname (a,b)=\operatorname (a,-2,b)=a^<(-2)>b=c.>

a ( − 2 ) b = a : b = a − b − b − ⋯ − b ⏟ c . <\displaystyle a<^<(-2)>>b=a:b=a\underbrace <-b-b-\dots -b>_.>

где: − b − b − ⋯ − b <\displaystyle -b-b-\dots -b>— последовательность операций вычитания, выполненная c <\displaystyle c>раз.

При практическом решении задачи деления двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: вычитание, сравнение, перенос и др. Для этого разработаны различные методы деления, например для чисел, дробей, векторов и др. В русскоязычных учебниках математики в настоящее время используется алгоритм деления столбиком. При этом следует рассматривать деление как процедуру (в отличие от операции).

Схема, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Примерный алгоритм процедуры деления натуральных чисел столбиком

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при делении больших чисел может занять продолжительное время. Данная процедура применима к делению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания соответствующей данному основанию P <\displaystyle P>системы счисления.

Пример деления натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления:

110010│101 │ 0 — 0 50800│25 │ 0 — 0 CD530│A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │2032 │ -25 — 1 A8 │138E │ -A8 — 1 10 08 │ -50 — 2 255 │ -150 — 2 0 0 │ -75 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ … — … 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ -3F0 — 6 0 50 930 │ -498 — 7 0. 0. 0. │ -540 — 8 │ -5E8 — 9 │ -690 — A │ -738 — B │ -7E0 — C │ -888 — D │ -930 — E

Деление чисел

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел N <\displaystyle \mathbb > как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств C , A , B , R <\displaystyle C,A,B,R>порождённых биекциями, с помощью скобок: , , , <\displaystyle . >. Тогда математическая операция «деление» определяется следующими образами:

  1. = : = & <\displaystyle \quad =:=\quad \&\quad >— деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>называется число элементов каждого подмножества разбиения;
  2. = : = & <\displaystyle \quad =:=\quad \&\quad >— деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>называется число (количество) подмножеств разбиения;

где: A / B <\displaystyle A/B>это — разбиение конечного множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества, такие что:

R <\displaystyle R>— остаток (множество оставшихся элементов), < ∅ >⩽ R < B <\displaystyle \<\emptyset \>\leqslant R<B> ,

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о делении с остатком. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): 0 ⩽ r < | b | <\displaystyle 0\leqslant r<|b|>, a = b ⋅ c + r <\displaystyle a=b\cdot c+r>,

Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел N <\displaystyle \mathbb > , (для полукольца натуральных чисел).

Примеры деления множества: верхний ряд — деление на равные части, нижний ряд — деление по содержанию.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида:

  1. «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?». В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 шт. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи — в каждой коробке по 4 карандаша.
  2. «12 карандашей надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?». В задаче рассматривается множество из 12 элементов которое разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента, требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 кар. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи — понадобится 4 коробки.

Для деления натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется алгоритм деления столбиком.

Деление целых чисел

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, − 7 / ( − 3 ) = 2 <\displaystyle -7/(-3)=2>с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

Для устранения неоднозначности принято соглашение: остаток от деления всегда неотрицателен.

Деление рациональных чисел

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей: a b : c d = a ⋅ d b ⋅ c = a d b c <\displaystyle <\frac >:<\frac >=<\frac >=<\frac >>

Деление вещественных чисел

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается R <\displaystyle \mathbb > . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: α = <\displaystyle \alpha =>и β = <\displaystyle \beta =>, то их частным называют число γ = <\displaystyle \gamma =>, определённое частным последовательностей < a n ><\displaystyle \\>> и < b n ><\displaystyle \\>> :

вещественное число γ = α : β <\displaystyle \gamma =\alpha :\beta >, удовлетворяет следующему условию:

∀ a ′ , a ″ , b ′ , b ″ ∈ Q ; ( a ′ ⩽ α ⩽ a ″ ) ∧ ( b ′ ⩽ β ⩽ b ″ ) ⇒ ( a ′ : b ′ ⩽ α / β ⩽ a ″ : b ″ ) ⇒ ( a ′ : b ′ ⩽ γ ⩽ a ″ : b ″ ) . <\displaystyle \forall a’,a»,b’,b»\in \mathbb ;

(a’\leqslant \alpha \leqslant a»)\land (b’\leqslant \beta \leqslant b»)\Rightarrow (a’:b’\leqslant \alpha /\beta \leqslant a»:b»)\Rightarrow (a’:b’\leqslant \gamma \leqslant a»:b»).>

Таким образом частное двух вещественных чисел α <\displaystyle \alpha >и β <\displaystyle \beta >является такое вещественное число γ <\displaystyle \gamma >которое содержится между всеми частными вида a ′ : b ′ <\displaystyle a’:b’>с одной стороны и всеми частными вида a ″ : b ″ <\displaystyle a»:b»>с другой стороны. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

На практике для того, чтобы разделить два числа α <\displaystyle \alpha >и β <\displaystyle \beta >, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>. За приближенное значение частного чисел α : β <\displaystyle \alpha :\beta >берут частное указанных рациональных чисел a : b <\displaystyle a:b>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают α <\displaystyle \alpha >и β <\displaystyle \beta >. Деление производится по алгоритму деления столбиком.

Пример деления γ = π : e <\displaystyle \gamma =\pi :e>, с точностью до 3-го знака после запятой:

  • Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
  • Получаем: π ≈ 3.1416 , e ≈ 2.7183 <\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183>;
  • Делим столбиком: γ = π : e ≈ 3.1416 : 2.7183 ≈ 1.1557 <\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557>;
  • Округляем до 3-го знака после запятой: γ ≈ 1.156 <\displaystyle \gamma \approx 1.156>.

График

На множестве пар вещественных чисел R 2 <\displaystyle \mathbb ^<2>> область значений функции деления c = a : b <\displaystyle c=a:b

> графически имеет вид гиперболического параболоида — поверхности второго порядка.

График функции c=a : b

Так как N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R <\displaystyle \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb > , то и для этих множеств область значений функции деления будет принадлежать этой поверхности.

Деление комплексных чисел

Комплексное число z на комплексной плоскости.

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом C <\displaystyle \mathbb > .

Алгебраической форма

Частным двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

где: z , z 1 , z 2 <\displaystyle z,z_<1>,z_<2>> — комплексные числа, a , b , c , d , e , f ∈ R <\displaystyle a,b,c,d,e,f\in \mathbb > , i <\displaystyle i>— мнимая единица; z 2 ≠ 0 , b + e i ≠ 0 <\displaystyle z_<2>\neq 0,

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю:

делитель становится действительным числом, а в числителе умножаются два комплексных числа, затем полученная дробь почленно делится. Результат определён для всех b + e i ≠ 0 = 0 + 0 i

Тригонометрическая форма

Для того, чтобы разделить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

Деление комплексных чисел на комплексной плоскости.

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Показательная (экспоненциальная) форма

Деление комплексного числа z 1 = a + d i = r 1 e i φ 1 <\displaystyle z_<1>=a+di=r_<1>e^>> в показательной форме, на комплексное число z 2 = b + e i = r 2 e i φ 2 <\displaystyle z_<2>=b+ei=r_<2>e^>> сводится к повороту вектора, соответствующего числу z 1 <\displaystyle z_<1>> , на угол Arg ⁡ ( z 2 ) <\displaystyle \operatorname (z_<2>)> и изменению его длины на | z 2 | <\displaystyle |z_<2>|> раз. Для частного комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

где: e = 2,718 281828 … <\displaystyle e=2<,>718281828\dots > — число e; z 2 ≠ 0 , r 2 ≠ 0 <\displaystyle z_<2>\neq 0,

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде a = ± x ⋅ P ± n <\displaystyle a=\pm x\cdot P^<\pm n>> , где x <\displaystyle x>— мантисса, P n <\displaystyle P^> — характеристика числа, P <\displaystyle P>— основание системы счисления, n ∈ Z <\displaystyle n\in \mathbb > . Для деления двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо разделить мантиссы и характеристики: ( a ⋅ P n ) : ( b ⋅ P k ) = ( a : b ) ⋅ ( P n : P k ) = a b ⋅ P n − k . <\displaystyle (a\cdot P^):(b\cdot P^)=(a:b)\cdot (P^:P^)=<\frac >\cdot P^.>

( 6 , 34 ⋅ 10 4 ) : ( 2 , 16 ⋅ 10 − 2 ) = ( 6 , 34 : 2 , 16 ) ⋅ ( 10 4 : 10 − 2 ) ≈ 2,935 ⋅ 10 ( 4 − ( − 2 ) ) ≈ 2 , 94 ⋅ 10 4 + 2 ≈ 2 , 94 ⋅ 10 6 . <\displaystyle (6<,>34\cdot 10^<4>):

2<,>16)\cdot (10^<4>:10^<-2>)\approx 2<,>935\cdot 10^<(4-(-2))>\approx 2<,>94\cdot 10^<4+2>\approx 2<,>94\cdot 10^<6>.>

Деление физических величин

Единица измерения физической величины имеет определённое наименование (размерность): для длины (L) — метр (м), для времени (T) — секунда (с), для массы (M) — грамм (г) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции деления. При производстве операции деления над физическими величинами, делятся как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные (количественные) величины, которые формально являются элементами числовой оси, то есть числами, не имеющие привязки к определённым физическим явлениям (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное). При делении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, делимое число изменяется по величине и сохраняет единицу измерения. Например если взять 15 гвоздей и разложить в 3 коробки, то в результате деления получим 5 гвоздей в каждой коробке:

Деление разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы делим. Если физически возможно создание такого частного, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее.

Например, если разделить длину L = 8 м <\displaystyle L=8

> соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется «скорость» и измеряется в «метрах в секунду»: V = 4 м/с . <\displaystyle V=4

V = L : T = 8 м : 2 с = 4 (м : с) = 4 м/с . <\displaystyle V=L:T=8

При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что «1 кг муки» и «1 кг меди» принадлежат разным множествам <мука>и <медь>соответственно и не могут быть непосредственно разделены. Также понятие однородности предполагает, что делимые величины принадлежат одному физическому процессу. Недопустимо делить, например скорость лошади на время собаки.

Деление в алгебре

В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым ( x − 1 ∗ x = e <\displaystyle x^<-1>*x=e> ), так и правым ( x ∗ x − 1 = e <\displaystyle x*x^<-1>=e> ). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

B − 1 ⋅ A ≠ A ⋅ B − 1 <\displaystyle B^<-1>\cdot A\neq A\cdot B^<-1>> .

Отношение тензоров в общем случае не определено.

Деление многочленов

В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

5334 8 = 5 ⋅ 8 3 + 3 ⋅ 8 2 + 3 ⋅ 8 1 + 4 ⋅ 8 0 = ( 5 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 4 ) | x = 8 <\displaystyle 5334_<8>=5\cdot 8^<3>+3\cdot 8^<2>+3\cdot 8^<1>+4\cdot 8^<0>=\left.(5x^<3>+3x^<2>+3x+4)\right|_> .

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Деление на ноль

По определению числовых множеств N , Z , Q , R , C <\displaystyle \mathbb ,\mathbb ,\mathbb ,\mathbb ,\mathbb > деление на число 0 не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов). С геометрической точки зрения выполняется аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины + ∞ , − ∞ <\displaystyle +\infty ,-\infty >. С точки зрения общей топологии выполняется двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

Топологическая картинка проективного расширения числовой прямой и точки 0/0 a : 0 = ± ∞ <\displaystyle a:0=\pm \infty >, где a ≠ 0.

Если произвести проективное расширение множества вещественных чисел введением идеализированной точки ∞ <\displaystyle \infty

> ,которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения общей топологии будет выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом ⊥= 0 / 0 <\displaystyle \perp =0/0>, в результате получится R ⊥ ∞ = R ∪ < ∞ , ⊥ > <\displaystyle \mathbb _<\perp >^<\infty >=\mathbb \cup \<\infty ,\perp \>> , на данной основе строится алгебраическая структура W = ⟨ R ⊥ ∞ , 0 , 1 , + , ⋅ , / ⟩ <\displaystyle <\mathfrak >=\langle \mathbb _<\perp >^<\infty >,0,1,+,\cdot ,/\rangle

> называемая «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.