P это что в математике

  • автор:

Что такое частное в математике?

Математика – уникальная наука, которая привлекает точностью и последовательностью. Каждый, кто начал изучать эту важную дисциплину, должен разобраться, что такое частное в математике.

Доска

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

  • Сложение
  • Вычитание
  • Деление
  • Умножение

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое. Есть ряд символов, которые обозначают его:

  • Двоеточие (:)
  • Косая черта (/)
  • Обелюс (тире между двумя точками ÷)

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Доска

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

a:b=c

Запишем простой пример из математики:

80:2=40

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Знаки

Другой пример выглядит так:

120:2=60

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Девочка

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

  • Полное. В результате деления мы получаем целое число:

100:2=50

50 – полное частное

  • Неполное. Если в результате мы получаем остаток:

51:2=25 (остаток 1)

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Школьник

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

30:6=x

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Мысли

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

P это что в математике

Только тем что у целых чисел нужно у частного посчитать знак. Как посчитать знак частного целых чисел? Рассмотрим подробно в теме.

Термины и понятия частного целых чисел.

Чтобы выполнить деление целых чисел нужно вспомнить термины и понятия. В делении есть: делимое, делитель и частное целых чисел.

Делимое – это то целое число, которое делят. Делитель – это целое число, на которое делят. Частное – это результат деления целых чисел.

Можно сказать “Деление целых чисел” или “Частное целых чисел” смысл этих фраз один и тот же, то есть нужно поделить одно целое число на другое и получить ответ.

Деление берет свое начало из умножения. Рассмотрим пример:

У нас есть два множителя 3 и 4. Но допустим нам известно, что есть один множитель 3 и результат умножения множителей их произведение 12. Как найти второй множитель? На помощь приходит деление.

Правило деления целых чисел.

Частное двух целых чисел равно частному их модулей, со знаком плюс в результате, если числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Важно учитывать знак частного целых чисел. Кратко правила деления целых чисел:

Плюс на плюс дает плюс.
“+ : + = +”

Минус на минус дает плюс.
“– : – =+”

Минус на плюс дает минус.
“– : + = –”

Плюс на минус дает минус.
“+ : – = –”

А теперь рассмотрим подробно каждый пункт правила деления целых чисел.

Деление целых положительных чисел.

Вспомним, что целые положительные числа это тоже самое, что натуральные числа. Мы пользуемся теми же правила, что и при делении натуральных чисел. Знак частного от деления целых положительных чисел всегда плюс . Иными словами, при делении двух целых чисел “плюс на плюс дает плюс ”.

Пример:
Выполните деление 306 на 3.

Решение:
Оба числа имеют знак “+”, поэтому ответ будет со знаком “+”.
306:3=102
Ответ: 102.

Пример:
Разделите делимое 220286 на делитель 589.

Решение:
Делимое 220286 и делитель 589 имеет знак плюс, поэтому частное тоже будет иметь знак плюс.
220286:589=374
Ответ: 374

Деление целых отрицательных чисел.

Правило деления двух отрицательных чисел.

Пусть у нас будут два отрицательных целых числа a и b. Нам нужно найти их модули и выполнить деление.

Результат деления или частное двух отрицательных целых чисел будет со знаком “+” или “минус на минус дает плюс”.

Рассмотрим пример:
Найдите частное -900:(-12).

Решение:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Ответ: -900:(-12)=75

Пример:
Выполните деление одного целого отрицательного числа -504 на второе отрицательное число -14.

Решение:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Записать выражение можно короче:
-504:(-14)=34

Деление целых чисел с разными знаками. Правило и примеры.

При выполнении деления целых чисел с разными знаками , частное будет равно отрицательному числу.

Не важно положительное целое число делим на отрицательное целое число или отрицательное целое число делим на положительное целое число, результат деления всегда будет равен отрицательному числу.

Минус на плюс дает минус.
Плюс на минус дает минус.

Пример:
Найдите частное двух целых чисел с разными знаками -2436:42.

Пример:
Вычислите деление 4716:(-524).

Нуль деленный на целое число. Правило.

При деление нуля на целое число ответ будет равен нулю.

Пример:
Выполните деление 0:558.

Пример:
Разделите нуль на целое отрицательное число -4009.

На нуль делить нельзя.

Нельзя 0 разделить на 0.

Проверка частного деления целых чисел.

Как говорилось ранее деление и умножение тесно связаны. Поэтому чтобы проверить результат деления двух целых чисел, нужно выполнить умножение делителя и частного в результате должно получиться делимое.

Проверка результата деления краткая формула:
Делитель ∙ Частное = Делимое

Рассмотрим пример:
Выполните деление и сделайте проверку 1888:(-32).

Решение:
Обращаем внимание на знаки целых чисел. Число 1888 положительное и имеет знак “+”. Число (-32) отрицательное и имеет знак “–”. Поэтому при делении двух целых чисел с разными знаками ответ будет отрицательное число.
1888:(-32)=-59

А теперь выполним проверку найденного ответа:
1888 – делимое,
-32 – делитель,
-59 – частное,

Делитель умножаем на частное.
-32∙(-59)=1888

1. Введем определение этого понятия. Частным чисел называется результат деления одного из чисел на другое. Частное чисел — это математическая величина.

2. Наглядное представление: a / b = c.

  • а — делимое;
  • b — делитель;
  • c — частное.

3. Пример 1. 156 / 2. Если поделить число 156 на 2, то в результатом будет число 78. В этом случае число 78 представляет собой частное двух чисел, результат от деления числа 156 на 2. 156 — делимое, 2 — делитель. Число 156 больше, чем число 2, в 78 раз. Данные умозаключения можно проверить, достаточно лишь выполнить операцию, обратную делению. 78 * 2 = 156. Верно.

4. Усложненный пример. 153214 / 2. 153214 — делимое, 2 — делитель.

  • Делим 15 на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 15 полученное значение и получаем 1.
  • Спускаем 3. 13 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 13 полученное значение и получаем 1.
  • Спускаем 2. 12 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 12 полученное значение и получаем 0.
  • Спускаем единицу, прописываем ноль. Спускаем 4. 14 делим на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 14 полученное значение и получаем 0.

Неполное частное

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Приведем пример: 157 / 3. 157 — делимое, 3 — делитель. При делении мы получаем, что число 3 содержится в числе 157, 52 раза, но образуется еще и остаток, который равен единице. В данном случае число 52 будем называть неполным частным. Число 1 — это остаток от деления числа 157 на 3.

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел.

Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем.

Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое.

Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Частное — это что такое? Можно услышать о множестве вещей и процессов, которые используются с этим словом. Что же оно значит?

Общая информация

Частное — это значит, что что-то принадлежит одному человеку или же относительно небольшой группе людей. Причем они объединены на добровольной основе, а не в приказном порядке (как пример можно в последнем случае привести коммунальные предприятия). А это, в свою очередь, обозначает определённую специфику. Также, когда говорят про частное, это может означать отдельный, весьма редкий или вообще единичный случай чего-то. Кроме этого, так называется одноименный математический оператор.

Как видите, слово «частное» — это весьма широко используемый инструмент нашего языка. Чтобы лучше понять его использование, давайте рассмотрим его применение на практике. Для полноты обзора будет уделено внимание и общему примеру, и частному. Итак, приступим.

Общий пример

Сейчас нами будет рассмотрена частная собственность. Как уже ранее говорилось, так называется всё, что принадлежит отдельному человеку или небольшой группе людей, которые объединились на добровольном основании. В качестве иллюстрации можно привести такое понятие, как дача. Что это? Так называют землю и постройки, которые принадлежат определённому человеку или группе (семье). Это на которую посторонним входить без разрешения хозяев запрещено. В случае нарушения к ним могут быть применены силовые методы для задержания с последующей передачей правоохранительным органам.

Частная собственность — это одна из основ капитализма, поэтому она охраняется со всей строгостью. Нарушение этого принципа подрывает устои современного капитализма и ведёт к различным, как правило негативным, последствиям. Хотя у нас защищен любой тип собственности, нажитый законным путём, так уж повелось, что именно частная представляет наибольший интерес для подавляющего количества людей.

Частный пример

А сейчас давайте рассмотрим использование этого слова с немного иной точки зрения. Только теперь для нас интерес будут представлять не физические лица, а юридические. Мы рассмотрим частное предприятие. Это означает, что оно принадлежит определённому человеку или группе и было создано на добровольческих основаниях. Но при этом оно не претендует на определённые материальные ценности. Так, есть объекты коммунальной собственности, например — парки. Они находятся в ведении коммунальных служб городов, где расположены.

Частные предприятия могут претендовать на определённое количество земли, необходимое для ведения деятельности, но это подразумевает использование только определённых типов территории. Причем следует отметить статус, который имеет юридическое лицо. Если взять, к примеру, гипотетическое село, и там одновременно будет действовать и частное, и В обоих могут состоять все жители. Но тем не менее у них будут различные полномочия и возможности, от которых уже будет зависеть осуществляемая деятельность и конечные цели.

Чтобы отличать друг от друга участвующие в математической операции деления числа, им присвоены собственные . Определением «частное» результат этой операции, а три других задействованных в этом действии компонента обозначены как «делимое» (число, которое подвергается делению), «делитель» (количество единиц деления) и «остаток» (произведение дробной части частного на делитель). Например, при целочисленном числа 48 на 5 частным будет являться 9, делимым – 48, делителем – 5, а остатком от деления – 3.

Если операция содержит одну или несколько переменных, то частное не будет целым или дробным , это может быть и математическое выражение. В общем случае можно считать частным все, что стоит после знака равенства в тождестве, левая часть которого является операцией деления. Например, 6*x²+12 на 3 частным будет выражение 2*x²+4.

Иногда вместо термина «частное» используют «отношение». Например, если вы назовете результат деления 48 на 5 любым из этих двух определений, то будете в одинаковой правы. Однако чаще термин «отношение» применяют к левой части тождества, то есть к еще не осуществленной операции деления, а «частным» правую часть, то есть полученный результат.

Слово «частное» применяется не только как математический термин, есть и другое широко используемое понятие, обозначаемое точно так же. Часто это слово в качестве прилагательного употребляется для того, чтобы подчеркнуть противопоставление отдельно взятой единицы общему целому — например, «частное мнение». В юриспруденции понятие «частное» эквивалентно понятию «негосударственное» — например, «частная собственность» или «частное право».

  • что такое частное чисел

Частным предприятием признается такая организационно-правовая форма собственности, при которой все имущество принадлежит одному или нескольким владельцам. Гражданское право РФ относит к его разновидностям: семейное предприятие, индивидуальное предпринимательство, открытие ООО и ЗАО.

Индивидуальный предприниматель – физическое лицо, которое занимается предпринимательством без образования юридического лица. Тем не менее, ИП должен пройти процедуру государственной регистрации, установленную Гражданским кодексом. Частный предприниматель по своим рискам отвечает имуществом предприятия. Он занимается получением прибыли исключительно на собственный страх и риск. Заниматься подобной деятельностью не имеют право сотрудники госорганов и органов муниципалитета.

Семейное предприятие схоже по организационно-правовой форме индивидуальному предпринимательству. Оно основывается на труде и усилиях одной семьи, а не одного человека. Семейное предприятие регистрируется в упрощенном порядке в налоговых органах. Послабления семейному бизнесу предусмотрены и в размере уплачиваемых предприятием налогов.

ООО как «общество с ограниченной ответственностью». Это предприятие, уставной капитал которого складывается из долей одного или нескольких участников. В случае необходимости они отвечают по обязательствам ООО той суммой, которую вкладывали в бизнес. Поэтому для ООО обязательно должен быть установлен минимальный размер уставного капитала. Основной целью его создания служит получение финансовой прибыли. Сразу после образования подобного коммерческого предприятия, законодательство требует создать орган управления, который обычно состоит из нескольких учредителей. Это наиболее распространенная форма образования юридического лица.

Закрытое акционерное общество тоже образовывается несколькими учредителями для извлечения прибыли. ЗАО выпускает определенное количество акции, которые могут быть распространены только среди акционеров этого предприятия. Законом установлено максимально возможное число акционеров – их должно быть не более пятидесяти.

Предпринимательство – способ проявления личной инициативы, рассчитанный на стабильное получение прибыли в ходе организации собственного бизнеса. Человек, организующий бизнес берет на себя все страхи и риски, которые могут возникнуть в ходе деятельности.

Предпринимательство разделяется на и частное. Первое предполагает под собой различные воздействия на субъекты деятельности, второе же является индивидуальным самовыражением, ведущее свою деятельность без какого-либо вмешательства государства.

Предпринимательская деятельность подлежит обязательной государственной регистрации. Лицо, желающее организовать свой бизнес, обязано зарегистрироваться в Федеральной налоговой службе по месту прописки. В случае ведения деятельности без свидетельства, его действия классифицируются как незаконные и влекут за собой соответствующее наказание.

Сфера деятельности предпринимательства обширна. Это может быть производство, услуги или коммерция. В любой сфере деятельности материально-ответственным лицом является предприниматель (ИП). Именно он рискует всеми вложенными средствами в свое дело. По законодательству РФ ИП отвечает всем своим имуществом по всем обязательствам.

Предпринимательство – это поиск сфер с целью самореализации и получения при этом некоторой прибыли. Предприниматель должен обладать определенными качествами характера. Из них можно выделить: целеустремленность, предприимчивость, умение находить выгоду в любой ситуации, умение анализировать ситуацию, трудолюбие, рискованность, настойчивость, умение убеждать, умение и желание постоянно совершенствоваться.

В России на данный момент − еще не достаточно развитое явление, ввиду ряда сдерживающих факторов, мешающих его полноценному развитию. Одним из них является недостаточная поддержка со стороны правительства. Предприниматель должен вкладывать свои собственные сбережения на свой страх и риск для развития, либо кредитоваться в банке. Для стабильного развития необходима поддержка со стороны государства, как в экономической сфере, так и в политической и правовой.

Среди видов деятельности существуют и такие, значение которых понимаешь не сразу — порой приходится найти дополнительную информацию и лишний раз подумать. Так, например, под регулируемым видом деятельности подразумевают монополию. Но какую именно монополию, и что значит этот термин в принципе?

Монополия и регулируемый вид деятельности — какая связь?

Связь у этих двух понятий весьма крепка: под контролируемой деятельностью чаще всего подразумевают деятельность государственных или естественных монополий. Деятельность государства в отношении субъектов таких монополий и называется «контролирующей» или «регулирующей»: государство само устанавливает цены и тарифы на услуги субъектов естественных и, разумеется, государственных монополий.

Почему этот вид деятельности имеет место быть?

Естественные монополии потому и называются естественными, что образуются без каких-либо искусственных вмешательств из внешней среды или в результате сговоров или нейтрализации конкурентов.

Но как же отличить государственную монополию от естественной?

Под государственной монополией подразумеваются компании и корпорации, генеральным директором которых может быть частное лицо, но 51% акций будет принадлежать государству. В России среди этих компаний: РЖД, Роснефть, Газпром и другие.

Естественные же монополии образуются в результате того, что на рынке не существует конкуренции в сфере предоставления подобных услуг, а услуги и товары, предоставляемые субъектами естественных монополий, являются незаменимыми.

Взаимодействие регулируемых организаций и государства

Почему все предприятия не могут быть частными? Ведь у нас рыночная экономика!

Даже в рыночной участие государства просто необходимо. Нигде не существует чисто рыночной системы, ни в России, ни в странах Запада, ни на Востоке, тем более.

Организации, которые подконтрольны государству, оправдывают свое существование тем, что во время экономического спада выступают в роли «буфера», который смягчает потери национальной экономики в принципе. Также, многие из подконтрольных или регулируемых организаций являются национально важными.

Так, в РФ также существует монополия на производство оружия, которая, разумеется, имеет свой стратегический смысл: если бы существовали частные компании, это бы подразумевало необходимость их контролирования, лицензирования, лишних временных затрат.

Что бы было, если бы владельцы Аэрофлота, ЖКХ или РЖД начали искусственно завышать цены? Это бы привело к социальному напряжению. А в случае полного контроля над этими организациями, государство имеет все рычаги влияния на них и, соответственно, цены на услуги первой необходимости (транспорт, горячая вода) контролируются государством, а не очередным капиталистом, единственным желанием которого является желание побольше заработать.

Многозначность свойственна не только лексемам бытового языка, но и терминам, если они употребляются в различных областях знания. Общее семантическое ядро, термин, безусловно, сохраняет, но частное значение имеет разное. Так, для примера этого явления языка можно рассмотреть слово «регистр»

Слово регистр можно трактовать по–разному, ведь используется оно в двух разных сферах деятельности: бухгалтерском учете и программировании. Регистры в бухгалтерском учете содержат информацию, которая со временем накапливается, систематизируется и регистрируется. Бухгалтерские регистры ведутся в специальных журналах (книгах) в виде машинограмм и с использованием специальной вычислительной техники.

Регистры в бухгалтерском учете разделяют на несколько видов:- бухгалтерские книги – пронумерованные и скрепленные листки бумаги с определенным набором таблиц;- карточки – стандартные листы бумаги, которые хранятся в картотеке. Карточки могут содержать графы дебет и кредит, графы расхода, прихода и остатка или сразу несколько граф;- ведомости – отдельные листы бумаги, большего размера, чем карточки. Ведомости обычно открывают на месяц и хранятся они в специальных регистраторах.

Все записи в бухгалтерских регистрах выполняются от руки и только шариковой ручкой синего цвета. По окончанию срока действия регистра все записи, сделанные в нем, сверяются, после чего листы регистра скрепляются и сдаются в архив организации.

Помимо бухгалтерского учета регистр используется и среди программистов. Компьютерный регистр – это отдельный участок памяти , длина которого составляет от 8 до 32 бит. Регистр нужен для временного хранения информации, обрабатываемой самим процессором. Компьютерные регистры, также как и бухгалтерские, подразделяются на несколько видов:- регистры . Эти 32–ухбитные регистры используются для математических операций или записи данных в память компьютера;- регистры сегментов. Это 16–тибитные регистры, которые содержат в себе первую половину адреса программы, исполняемой в данный момент;- регистры управления. Это 32–ухбитные регистры, которые устанавливают нужный режим работы компьютера и распределяют память

Математика — Mathematics

Математики ищут и используют узоры [8] [9] сформулировать новые догадки; они решают правда или ложь математическое доказательство. Когда математические структуры являются хорошими моделями реальных явлений, математические рассуждения можно использовать для получения понимания или предсказаний о природе. За счет использования абстракция и логика, математика развивалась из подсчет, расчет, измерение, и систематическое изучение формы и движения из физические объекты. Практическая математика была человеческой деятельностью с давних времен. письменные записи существовать. В исследование для решения математических задач могут потребоваться годы или даже столетия непрерывных исследований.

Строгие аргументы впервые появился в Греческая математика, особенно в Евклидс Элементы. [10] Начиная с новаторской работы Джузеппе Пеано (1858–1932), Дэвид Гильберт (1862–1943) и др. по аксиоматическим системам в конце 19 века, стало обычным рассматривать математические исследования как установление истины путем тщательный вычет из правильно выбранных аксиомы и определения. Математика развивалась относительно медленно, пока эпоха Возрождения, когда математические инновации взаимодействуют с новыми научные открытия привело к быстрому увеличению скорости математических открытий, которое продолжается и по сей день. [11]

Математика важна во многих областях, в том числе естественные науки, инженерное дело, лекарство, финансы, а социальные науки. Прикладная математика привело к появлению совершенно новых математических дисциплин, таких как статистика и теория игры. Математики занимаются чистая математика (математика сама по себе), не имея в виду какого-либо приложения, но практические применения того, что начиналось как чистая математика, часто обнаруживаются позже. [12] [13]

Содержание

История

Историю математики можно рассматривать как постоянно увеличивающийся ряд абстракции. Первая абстракция, которую разделяют многие животные, [14] Вероятно, это были числа: осознание того, что набор из двух яблок и набор из двух апельсинов (например) имеют нечто общее, а именно количество их членов.

Как свидетельствует подсчеты на кости, в дополнение к распознаванию того, как считать физические объекты, доисторический люди, возможно, также научились считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы. [15] [16]

Доказательства более сложной математики появляются только примерно в 3000 г.до н.э, когда Вавилоняне и египтяне начали использовать арифметика, алгебра и геометрия для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства, а также для астрономия. [17] Древнейшие математические тексты из Месопотамия и Египет относятся к периоду с 2000 по 1800 год до нашей эры. [18] Во многих ранних текстах упоминается Пифагорейские тройки и поэтому, по заключению, теорема Пифагора кажется самым древним и широко распространенным математическим развитием после основ арифметики и геометрии. [19] Он находится в Вавилонская математика который элементарная арифметика (добавление, вычитание, умножение и разделение) впервые появляются в археологической летописи. Вавилоняне также обладали системой позиционного значения и использовали шестидесятеричный система счисления [19] который до сих пор используется для измерения углов и времени. [20]

Начиная с VI века до н.э. Пифагорейцы, то Древние греки начал систематическое изучение математики как самостоятельного предмета с Греческая математика. [21] Около 300 г. до н.э., Евклид представил аксиоматический метод все еще используется в математике сегодня, состоит из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Его учебник Элементы широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [22] Величайшего математика древности часто считают Архимед (ок. 287–212 до н. э.) Сиракузы. [23] Он разработал формулы для расчета площади поверхности и объема твердые тела вращения и использовал метод истощения рассчитать площадь под дугой парабола с суммирование бесконечного ряда, в манере, не слишком отличной от современной математики. [24] Другие известные достижения греческой математики: конические секции (Аполлоний Пергский, 3 век до н.э.), [25] тригонометрия (Гиппарх Никейский, 2 век до н.э.), [26] и истоки алгебры (Диофант, III век нашей эры). [27]

В Индусско-арабская система счисления и правила использования его операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индия и были переданы западный мир через Исламская математика. [28] Другие заметные достижения индийской математики включают современное определение и приближение синус и косинус, [28] и ранняя форма бесконечная серия.

Вовремя Золотой век ислама, особенно в IX и X веках, в математике произошло много важных нововведений, основанных на греческой математике. Наиболее заметное достижение Исламская математика был развитием алгебра. Другими заметными достижениями исламского периода являются достижения в сферическая тригонометрия и добавление десятичная точка в арабскую систему счисления. [29] [30] Многие известные математики этого периода были персами, например Аль-Хоресми, Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Хуси.

Вовремя ранний современный период, математика стала развиваться ускоренными темпами в западная Европа. Развитие исчисление Ньютон и Лейбниц в 17 веке произвели революцию в математике. [31] Леонард Эйлер был самым известным математиком 18 века, сделавшим множество теорем и открытий. [32] Возможно, крупнейшим математиком XIX века был немецкий математик. Карл Фридрих Гаусс, [33] которые внесли большой вклад в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия, матричная теория, теория чисел, и статистика. В начале 20 века Курт Гёдель преобразовал математику, опубликовав теоремы о неполноте, которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система — если она достаточно мощная для описания арифметики — будет содержать истинные утверждения, которые нельзя доказать. [34]

С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и естествознанием произошло плодотворное взаимодействие на благо обоих. Математические открытия продолжают делаться и сегодня. По словам М.Б. Севрюка, в январском номере журнала за 2006 г. Бюллетень Американского математического общества, «Количество статей и книг, включенных в Математические обзоры база данных с 1940 года (первый год работы MR) сейчас составляет более 1,9 миллиона, и более 75 тысяч позиций добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства.» [35]

Этимология

Слово математика происходит от Древнегреческий матема ( μάθημα ), что означает «то, что изучено», [36] «то, что нужно знать», отсюда также «изучение» и «наука». Слово «математика» стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» еще в классические времена. [37] Его прилагательное является mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что в дальнейшем также стало означать «математический». Особенно, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; латинский: ars mathematica) означало «математическое искусство».

Точно так же одна из двух основных школ мысли в Пифагореизм был известен как mathēmatikoi (μαθηματικοί) — что в то время означало «учащихся», а не «математиков» в современном смысле. [38]

В латинском и английском языках примерно до 1700 года термин математика чаще означало «астрология»(или иногда»астрономия»), а не» математика «; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 до 1800. Это привело к нескольким ошибочным переводам. Например, Святой Августинпредупреждение, что христиане должны остерегаться математика, имея в виду астрологов, иногда неправильно переводится как осуждение математиков. [39]

Очевидное множественное число форма в английском языке, как и французская форма множественного числа les mathématiques (и менее часто используемое единственное число производная la mathématique) восходит к латинскому средний множественное число математика (Цицерон), основанный на греческом множественном числе та математика ( τὰ μαθηματικά ), использован Аристотель (384–322 гг. До н.э.) и означая примерно «все математические», хотя вполне вероятно, что английский заимствовал только прилагательное математический (др.) и образовал существительное математика заново, по образцу физика и метафизика, которые были унаследованы от греч. [40] В английском языке существительное математика принимает глагол единственного числа. Его часто сокращают до математика или в Северной Америке математика. [41]

Определения математики

У математики нет общепринятого определения. [6] [7] Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве может не отличить математику от таких наук, как физика; с его точки зрения, абстракция и изучение количества как свойства, «мысленно отделяемого» от реальных примеров, выделяют математику. [42]

В 19 веке, когда изучение математики стало более строгим и стало затрагивать такие абстрактные темы, как теория групп и проективная геометрия, которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать множество новых определений. [43]

Многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают его неопределимым. [6] Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. [7] Некоторые просто говорят: «Математика — это то, чем занимаются математики». [6]

Три ведущих типа

Сегодняшние три основных типа определения математики называются логик, интуиционист, и формалист, каждый из которых отражает другую философскую школу. [44] У всех есть серьезные недостатки, ни один не получил широкого признания, и никакое примирение не представляется возможным. [44]

Определения логиков

Раннее определение математики с точки зрения логики было следующим: Бенджамин Пирс (1870 г.): «наука, делающая необходимые выводы». [45] в Principia Mathematica, Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед продвинул философскую программу, известную как логицизм, и попытался доказать, что все математические концепции, утверждения и принципы могут быть определены и доказаны полностью в терминах символическая логика. Логицистское определение математики — это Рассел (1903) «Вся математика есть символическая логика». [46]

Интуиционистские определения

Интуиционист определения, развивающиеся из философии математика Л. Э. Дж. Брауэротождествляйте математику с определенными умственными явлениями. Пример интуиционистского определения: «Математика — это умственная деятельность, заключающаяся в выполнении построений один за другим». [44] Особенность интуиционизма состоит в том, что он отвергает некоторые математические идеи, считающиеся действительными согласно другим определениям. В частности, в то время как другие философии математики допускают объекты, существование которых можно доказать, даже если они не могут быть сконструированы, интуиционизм допускает только математические объекты, которые можно построить. Интуиционисты также отвергают закон исключенного среднего (т.е. п ∨ ¬ п ). Хотя такая позиция заставляет их отвергать одну распространенную версию доказательство от противного как эффективный метод доказательства, а именно вывод п из ¬ п → ⊥ , они все еще могут сделать вывод ¬ п из п → ⊥ . Для них, ¬ ( ¬ п ) строго более слабое утверждение, чем п . [47]

Формалистские определения

Формалист определения отождествляют математику с ее символами и правилами работы с ними. Хаскелл Карри определил математику просто как «науку о формальных системах». [48] А формальная система набор символов, или жетоны, и немного правила о том, как жетоны должны быть объединены в формулы. В формальных системах слово аксиома имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины», и используется для обозначения комбинации лексем, которые включены в данную формальную систему без необходимости извлечения с использованием правил системы.

Математика как наука

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс назвал математику «Королевой наук». [49] В последнее время, Маркус дю Сотуа назвал математику «королевой науки . главной движущей силой научных открытий». [50] Философ Карл Поппер заметил, что «большинство математических теорий, как и теории физика и биология, гипотетико-дедуктивный: чистая математика, таким образом, оказывается намного ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются предположениями, чем это казалось еще недавно ». [51] Поппер также отметил, что «я обязательно признаю систему эмпирической или научной, только если она может быть проверена опытом». [52]

Некоторые авторы считают, что математика — это не наука, потому что она не опирается на эмпирическое доказательство. [53] [54] [55] [56]

Математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследование логических следствий предположений. Интуиция и эксперименты также играют роль в формулировании догадки как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает расти в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в естественных науках, так и в математике.

Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики [57] считают, что называть их область наукой — значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарные науки; другие считают, что игнорировать ее связь с науками — значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики. [58] Один из способов проявления этой разницы во взглядах — философские дебаты о том, является ли математика созданный (как в искусстве) или обнаруженный (как в науке). На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Это один из многих вопросов, рассмотренных в философия математики. [59]

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Исаак Ньютон

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Математика возникает из множества различных задач. Сначала они были найдены в торговле, измерение земли, архитектура и позже астрономия; сегодня все науки предлагают проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики. Например, физик Ричард Фейнман изобрел формулировка интеграла по путям из квантовая механика используя сочетание математических рассуждений и физических способностей, и сегодняшние теория струн, все еще развивающаяся научная теория, которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы, продолжает вдохновлять на новую математику. [60]

Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и присоединяется к общему арсеналу математических понятий. Часто проводится различие между чистая математика и Прикладная математика. Однако темы чистой математики часто имеют приложения, например теория чисел в криптография. Этот замечательный факт, что даже самая «чистая» математика часто имеет практическое применение, — вот что Юджин Вигнер позвонил «необоснованная эффективность математики». [13] Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: сейчас существуют сотни специализированных областей в математике и новейших Классификация предметов математики занимает 46 страниц. [61] Некоторые области прикладной математики слились со смежными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследование операций, и Информатика.

Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект. Многие математики говорят о элегантность математики, ее внутренней эстетика и внутренняя красота. Простота и общность ценятся. Красота в простом и элегантном доказательство, Такие как Евклиддоказательство того, что существует бесконечно много простые числа, и в элегантном численный метод это ускоряет расчет, например быстрое преобразование Фурье. Г. Х. Харди в Извинения математика выразил уверенность в том, что эти эстетические соображения сами по себе достаточны, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значимость, неожиданность, неизбежность и экономичность, как факторы, способствующие математической эстетике. [62] Математические исследования часто ищут критические характеристики математического объекта. Теорема выражается как характеристика объекта по этим характеристикам является приз. Примеры особенно сжатых и разоблачающих математических аргументов были опубликованы в Доказательства из КНИГИ.

Популярность развлекательная математика — еще один признак удовольствия, которое многие находят при решении математических вопросов. Другая социальная крайность заключается в том, что философы продолжают находить проблемы в философия математики, например, характер математическое доказательство. [63]

Обозначения, язык и строгость

Большинство используемых сегодня математических обозначений не было изобретено до 16 века. [64] До этого математика была записана словами, что ограничивало математические открытия. [65] Эйлер (1707–1783) был ответственным за многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. В соответствии с Барбара Окли, это может быть связано с тем, что математические идеи более Абстрактные и больше зашифрованный чем естественный язык. [66] В отличие от естественного языка, где люди часто могут приравнивать слово (например, корова) с физическим объектом, которому он соответствует, математические символы абстрактны и не имеют никакого физического аналога. [67] Математические символы также более надежно зашифрованы, чем обычные слова, что означает, что один символ может кодировать ряд различных операций или идей. [68]

Математический язык может быть сложно понять новичкам, потому что даже общие термины, такие как или же и Только, имеют более точное значение, чем в повседневной речи, и другие термины, такие как открыто и поле относятся к конкретным математическим идеям, не охватываемым их непрофессиональным значением. Математический язык также включает множество технических терминов, таких как гомеоморфизм и интегрируемый которые не имеют значения вне математики. Кроме того, сокращенные фразы, такие как если только за «если и только если» принадлежать математический жаргон. Есть причина для специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности, чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Математическое доказательство в основном вопрос строгость. Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано во избежание ошибки «теоремы», основанный на ошибочной интуиции, много примеров которой произошло в истории этого предмета. [b] Уровень строгости, ожидаемой от математики, со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаак Ньютон используемые методы были менее строгими. Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых распространенных неправильных представлений о математике. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерные доказательства. Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть ошибочными, если используемая компьютерная программа ошибочна. [c] [69] С другой стороны, помощники доказательства позволяют проверить все детали, которые не могут быть указаны в рукописном доказательстве, и обеспечить уверенность в правильности длинных доказательств, таких как доказательство Теорема Фейта – Томпсона. [d]

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидные истины», но такая концепция проблематична. [70] На формальном уровне аксиома — это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматическая система. Это была цель Программа Гильберта поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно Теорема Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимый формулы; и так последний аксиоматизация математики невозможно. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теория множеств в некоторой аксиоматизации, в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств. [71]

Области математики

В широком смысле математику можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменений (т.е. арифметика, алгебра, геометрия, и анализ). В дополнение к этим основным задачам, есть также подразделения, посвященные изучению связей из самого сердца математики с другими областями: логика, к теория множеств (основы), эмпирической математике различных наук (Прикладная математика), а в последнее время к тщательному изучению неуверенность. Хотя некоторые области могут показаться не связанными друг с другом, Программа Langlands обнаружил связи между областями, ранее считавшимися несвязанными, такими как Группы Галуа, Римановы поверхности и теория чисел.

Дискретная математика обычно объединяет области математики, изучающие математические структуры, которые по своей сути дискретны, а не непрерывны.

Основы и философия

Чтобы прояснить основы математики, поля математическая логика и теория множеств были разработаны. Математическая логика включает математическое изучение логика и приложения формальной логики к другим областям математики; теория множеств — это раздел математики, изучающий наборы или коллекции предметов. Выражение «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год. [72] Некоторые разногласия по поводу основ математики сохраняются и по сей день. Кризис фондов был вызван рядом споров того времени, в том числе полемика по теории множеств Кантора и Противоречие Брауэра-Гильберта.

Математическая логика занимается установкой математики в строгие аксиоматический рамки и изучение последствий такой структуры. Таким образом, это дом для Теоремы Гёделя о неполноте которые (неофициально) подразумевают, что любой эффективный формальная система содержащий основную арифметику, если звук (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны), обязательно неполный (это означает, что есть истинные теоремы, которые нельзя доказать в этой системе). Какой бы конечный набор теоретико-числовых аксиом ни был взят за основу, Гёдель показал, как построить формальное утверждение, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом. Следовательно, ни одна формальная система не является полной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теория рекурсии, теория моделей, и теория доказательств, и тесно связан с теоретическая информатика, [ нужна цитата ] а также теория категорий. В контексте теории рекурсии невозможность полной аксиоматизации теории чисел также может быть формально продемонстрирована как следствие теоремы MRDP.

Теоретическая информатика включает теория вычислимости, теория сложности вычислений, и теория информации. Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая наиболее известную модель — модель Машина Тьюринга. Теория сложности — это исследование управляемости компьютером; некоторые проблемы, хотя теоретически и решаемые с помощью компьютера, являются настолько дорогостоящими с точки зрения времени и пространства, что их решение, вероятно, останется практически невыполнимым даже с быстрым развитием компьютерного оборудования. Известная проблема — » п = НП? «проблема, одна из Задачи Премии тысячелетия. [73] Наконец, теория информации связана с объемом данных, которые могут храниться на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия.

Чистая математика

Системы счисления и теория чисел

Изучение количества начинается с цифр, сначала знакомых натуральные числа N > и целые числа Z > («целые числа») и арифметические операции над ними, которые характеризуются арифметика. Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теория чисел, откуда приходят такие популярные результаты, как Последняя теорема Ферма. В двойной премьер предположение и Гипотеза Гольдбаха это две нерешенные проблемы теории чисел.

По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество из рациональное число Q > («фракции»). Они, в свою очередь, содержатся в действительные числа, р > которые используются для представления пределов последовательностей рациональных чисел и непрерывный количества. Действительные числа обобщаются на сложные числа C > .Согласно основная теорема алгебры, все полиномиальные уравнения в одном неизвестном с комплексными коэффициентами есть решение в комплексных числах, независимо от степени полинома. N ,   Z ,   Q ,   р , mathbb , mathbb , mathbb > и C > это первые шаги иерархии чисел, которая включает кватернионы и октонионы. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитные числа, которые формализуют понятие «бесконечность». Еще одна область изучения — размер наборов, который описывается Количественные числительные. К ним относятся числа алеф, которые позволяют осмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.

( 0 ) , 1 , 2 , 3 , …

… , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 …

− 2 , 2 3 , 1.21 <3>>, 1.21> − е , 2 , 3 , π >, 3, pi> 2 , я , − 2 + 3 я , 2 е я 4 π 3 <3>>>> ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , … , ℵ α , … .   , aleph _ <1>, aleph _ <2>, ldots, aleph _ , ldots. >
Натуральные числа Целые числа Рациональное число Действительные числа Сложные числа Бесконечные кардиналы
Структура

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функции, проявляют внутреннюю структуру как следствие операции или же связи которые определены на множестве. Затем математика изучает свойства этих множеств, которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например теория чисел изучает свойства набора целые числа что может быть выражено через арифметика операции. Более того, часто бывает, что разные такие структурированные множества (или структуры) обладают схожими свойствами, что позволяет на следующем этапе абстракция, чтобы заявить аксиомы для класса структур, а затем сразу изучить весь класс структур, удовлетворяющих этим аксиомам. Таким образом можно изучать группы, кольца, поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур, определяемых алгебраическими операциями) составляют область абстрактная алгебра.

Благодаря своей большой общности абстрактная алгебра часто может применяться к, казалось бы, не связанным между собой проблемам; например, ряд древних проблем, касающихся конструкции компаса и линейки были окончательно решены с использованием Теория Галуа, который включает теорию поля и теорию групп. Другой пример алгебраической теории: линейная алгебра, который является общим исследованием векторные пространства, элементы которого называются векторов имеют как количество, так и направление, и могут использоваться для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров явления, когда изначально не связанные между собой области геометрия и алгебра очень сильно взаимодействуют с современной математикой. Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов, которые соответствуют заданной структуре.

( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 ) ( 3 , 2 , 1 ) (1,2,3) & (1,3,2) (2,1,3) & (2,3,1) (3,1,2) & (3, 2,1) конец <матрица>>>
Комбинаторика Теория чисел Теория групп Теория графов Теория порядка Алгебра
Космос

Изучение космоса берет свое начало с геометрия-особенно, Евклидова геометрия, который сочетает в себе пробелы и числа и включает в себя хорошо известные теорема Пифагора. Тригонометрия это раздел математики, который занимается отношениями между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрическими функциями. Современные исследования пространства обобщают эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидовы геометрии (которые играют центральную роль в общая теория относительности) и топология. Количество и пространство играют роль в аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, и алгебраическая геометрия. Выпуклый и дискретная геометрия были разработаны для решения проблем в теория чисел и функциональный анализ но сейчас мы ищем приложения в оптимизация и Информатика. В рамках дифференциальной геометрии существуют концепции пучки волокон и расчет на коллекторы, особенно, вектор и тензорное исчисление. В алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений многочлен уравнения, объединяющие понятия количества и пространства, а также изучение топологические группы, сочетающие структуру и пространство. Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология со всеми своими многочисленными ответвлениями, возможно, была самой большой областью роста в математике 20 века; это включает в себя точечная топология, теоретико-множественная топология, алгебраическая топология и дифференциальная топология. В частности, примеры современной топологии теория метризуемости, аксиоматическая теория множеств, теория гомотопии, и Теория Морса. Топология также включает решенные Гипотеза Пуанкаре, и все еще нерешенные области Гипотеза Ходжа. Другие результаты в геометрии и топологии, включая теорема четырех цветов и Гипотеза Кеплера, были доказаны только с помощью компьютеров.

Изменять

Понимание и описание изменений — общая тема в естественные науки, и исчисление был разработан как инструмент для его исследования. Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительные числа а функции действительной переменной известны как реальный анализ, с комплексный анализ эквивалентное поле для сложные числа. Функциональный анализ фокусирует внимание на (обычно бесконечном) пробелы функций. Одним из многих приложений функционального анализа является квантовая механика. Многие проблемы естественным образом приводят к отношениям между величиной и скоростью ее изменения, и они изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе можно описать динамические системы; теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемые, но все же детерминированный поведение.

Прикладная математика

Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в наука, инженерное дело, бизнес, и промышленность. Таким образом, «прикладная математика» — это математическая наука со специализированными знание. Период, термин Прикладная математика также описывает профессиональную специальность, по которой математики работают над практическими задачами; как профессия, ориентированная на практические задачи, Прикладная математика фокусируется на «формулировании, изучении и использовании математических моделей» в науке, технике и других областях математической практики.

В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика развивалась в первую очередь ради нее самой. Таким образом, деятельность прикладной математики жизненно связана с исследованиями в чистая математика.

Статистика и другие науки о принятии решений

Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно теория вероятности. Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайная выборка и с рандомизированным эксперименты; [74] план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные станут доступны). При пересмотре данных экспериментов и образцов или при анализе данных из наблюдательные исследованиястатистики «разбираются в данных», используя искусство моделирование и теория вывод-с выбор модели и оценка; предполагаемые модели и последующие предсказания должно быть проверено на новые данные. [e]

Статистическая теория исследования проблемы решения например, минимизация рисковать (ожидаемый убыток) статистического действия, такого как использование процедура в, например, оценка параметров, проверка гипотезы, и отбор лучших. В этих традиционных областях математическая статистика, задача статистического решения формулируется путем минимизации целевая функция, например, ожидаемый убыток или Стоимостьпри определенных ограничениях: например, планирование обследования часто включает в себя минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности. [75] Из-за использования оптимизацияматематическая теория статистики разделяет озабоченность других наука о принятии решений, Такие как исследование операций, теория управления, и математическая экономика. [76]

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математические задачи которые обычно слишком велики для числового потенциала человека. Числовой анализ изучает методы решения проблем в анализ с помощью функциональный анализ и теория приближения; численный анализ включает изучение приближение и дискретизация в целом с особым вниманием к ошибки округления. Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмический матрица и теория графов. Другие области вычислительной математики включают: компьютерная алгебра и символьное вычисление.

Математические награды

Пожалуй, самая престижная награда в области математики — это Медаль Филдса, [77] [78] учреждена в 1936 году и присуждается каждые четыре года (кроме периода Второй мировой войны) целым четырем лицам. Медаль Филдса часто считают математическим эквивалентом Нобелевской премии.

В Премия Вольфа по математике, учрежденная в 1978 году, отмечает достижения на протяжении всей жизни и другую крупную международную награду — Премия Абеля, был учрежден в 2003 году. Медаль Черна был введен в 2010 году для признания достижений за всю жизнь Эти награды присуждаются в знак признания определенной работы, которая может быть инновационной или предлагать решение нерешенной проблемы в установленной области.

Знаменитый список из 23 открытые проблемы, называется «Проблемы Гильберта», был составлен в 1900 г. немецким математиком Дэвид Гильберт. Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены. Новый список из семи важных проблем под названием «Задачи Премии тысячелетия», была опубликована в 2000 году. Только одна из них, Гипотеза Римана, дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем приносит вознаграждение в 1 миллион долларов. В настоящее время только одна из этих проблем, Гипотеза Пуанкаре, было решено.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.