Чтобы оценить каков будет период малых колебаний математического маятника используем для вычислений

  • автор:

Период колебаний математического маятника

Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями. Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.

Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых переменная величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда они описываются уравнением:

где $A=s_$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $(<\omega >_0t+\varphi )$ — фаза колебаний. Величина $s$ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.

Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:

Разные процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.

Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника. Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.

Математический маятник и период его колебания

Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.

Первым, свойства математического маятника изучал Галилей, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Галилей установил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будет происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Если длина маятника постоянна, но изменяются массы грузов, прикрепленных к подвесу, то период колебаний маятника не изменится. Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Формула для периода колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника, рисунок 1

Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности с ускорением, под воздействием некоторой возвращающей силы, которая изменяется при его движении. Сила непостоянная, из-за чего расчет движения может приводить к значительным сложностям. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник реализует не колебания в плоскости, а описывает конус (рис.1), при этом груз движется по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника равен времени, которое затрачивает груз на один оборот по окружности:

где $l$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза по окружности. В случае небольших углов отклонения нити от вертикали (малые амплитуды) можно полагать, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

С другой стороны рис.1:

Приравниваем правые части выражений (4), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (3), имеем:

Мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения дает основания для точного практического определения этого ускорения.

Единицей измерения периода служит единица времени — секунда:

Примеры задач с решением

Задание. Каков период математического маятника, если точка его подвеса движется горизонтально с ускорением $a=2,5\ \frac<м><с^2>$, длина нити этого маятника равна $l=0,5\ $м?

Решение. Сделаем рисунок.

Период колебаний математического маятника, пример 1

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением можно найти как:

где из рис.2 видно, что модуль ускорения $a_p$ равен:

Подставим правую часть формулы (1.2) вместо соответствующего ускорения в (1.1), имеем:

Вычислим период этого маятника:

Заданиею Чему равен период математического маятника, если в первом примере точка его подвеса движется в горизонтальном направлении равномерно?

Решениею В этом случае, период математического маятника вычисляем по формуле:

Чтобы оценить каков будет период малых колебаний математического маятника используем для вычислений

Задание 22 № 3212

Чтобы оценить, каков будет период малых колебаний математического маятника, используем для вычислений на калькуляторе формулу По оценке «на глазок» длина нити равна Калькулятор показывает на экране число 2,4322335. Чему равен, с учётом погрешности оценки длины нити, период колебаний маятника? (Ответ дайте в секундах, значение и погрешность запишите слитно без пробела.)

Поскольку длина нити известна неточно, значение периода малых колебаний, вычисленное по формуле также будет иметь погрешность. Согласно правилам вычисления погрешностей косвенных измерений, в конечном выражении для погрешности необходимо оставлять одну значащую цифру и округлять с избытком

а вычисляемая величина должна даваться с такой же точностью, как погрешность. Таким образом, правильная запись для периода малых колебаний математического маятника с учётом погрешности оценки длины нити:

При нахождении погрешности косвенных измерений округление производят с избытком.

Период колебания математического маятника приближенно можно вычислить

Период математического маятника приближенно можно вычислить, применяя формулу: T=2\sqrt l, где l— длина маятника (расстояния от точки повеса до центра тяжести груза). Подскажите, пожалуйста, при каких условиях можно использовать данную формулу? Почему в правой и левой частях выражения для периода не совпадают размерности?

Вспомним, что такое математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити. При малых углах отклонения от положения равновесия математический маятник совершает гармонические колебания. (Подробнее о математическом маятнике см. раздел «Математический маятник»). Обычно для расчета периода колебаний математического маятника используют формулу:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}(1),\]

где g=9,8м/с^2— ускорение свободного падения, \pi=3,14. Если совсем упрощать (1), то можно считать, что \pi \approx \sqrt {g}, тогда выражение (1) перейдет в формулу в соответствии с которой период колебания математического маятника приближенно можно вычислить как:

\[T=2\sqrt{l}(2).\]

Теперь об условиях применимости указанных выше формул расчета периода. Если не изменять длину маятника, но подвешивать грузы разной массы, то из выражений (1) и (2) видно, что период колебаний маятника изменяться не будет. Но следует учитывать, что колебания будут гармоническими, а это значит, будут выполняться формулы (1) и (2) только при малых углах отклонения от положения равновесия в момент запуска маятника. Если амплитуды колебаний малы, колебания близки по форме к гармоническим, то период математического маятника не зависит от амплитуды, что видно из выражений (1) и (2).
Обратим внимание на размерности в правой и левой частях формулы (1): период измеряется в секундах, посмотрим, что получается в правой части. Ускорение свободного падения имеет размерность: м/с^2; длина измеряется в м, следовательно, имеем: м\divм/c^2=c^2. Следуя формуле (1) извлечем квадратный корень, получим размерность правой части секунды, как и левой. Исходя из приведенных выше рассуждений, очевидно, что получая формулу (2) которую Вы привели в вопросе из классической формулы (1),проводится сокращение ускорения, имеющего размерность с безразмерной величиной, поэтому имеется расхождение в размерности правой и левой части.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.