Эвклидова математика что это

  • автор:

Значение словосочетания «эвклидова геометрия»

/>Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова главк (существительное):

Ассоциации к слову «геометрия&raquo

Синонимы к слову «геометрия&raquo

Предложения со словосочетанием «эвклидова геометрия&raquo

  • Геометрию, в которую эвклидова геометрия вошла, как частный случай.

Цитаты из русской классики со словосочетанием «эвклидова геометрия»

  • В училище преподавали общеобразовательные предметы, арифметику, немного физики, алгебру и геометрию .

Сочетаемость слова «геометрия&raquo

Афоризмы русских писателей со словом «геометрия&raquo

    есть расположение к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.

Отправить комментарий

Дополнительно

Значение слова «геометрия&raquo

ГЕОМЕ́ТРИЯ , -и, ж. Раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Предложения со словосочетанием «эвклидова геометрия&raquo

Геометрию, в которую эвклидова геометрия вошла, как частный случай.

Такой нелепости эвклидова геометрия не допускает (смотрите рисунок).

То есть при увеличении масштаба и при ближайшем рассмотрении эвклидова геометрия рушится.

Синонимы к слову «геометрия&raquo
  • континуум
  • термодинамика
  • математизация
  • комбинаторика
  • макромир
Ассоциации к слову «геометрия&raquo
  • углы
  • математика
  • треугольник
  • многогранник
  • овальный
Сочетаемость слова «геометрия&raquo
Морфология
Правописание

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Построение математики может быть признано в нашу эпоху удовлетворительным, лишь если оно выявляет единство этой науки; в математике имеется неразрывность метода, несмотря на разнообразие рассматриваемых структур, начиная с понятий целых чисел и дробей, точек и прямых и так до понятий наиболее сложных.  [1]

Иногда, при формалистском построении математики ( см. предыдущее примечание) или, уже, при изучении отдельных математических теорий в виде формальных систем ( невозможно бегло, в несколько слов, объяснить, что такое формальная система; желающие могут попробовать познакомиться с этим понятием по введению к книге А. Черча [ 211, где оно называется логистическая система) понятие переменной можно определить заранее, раз навсегда, независимо от конкретных рассматриваемых выражений.  [2]

Известные трудности, ощущавшиеся в основаниях математики после открытия дифференциального и интегрального исчислений, казалось, были преодолены путем построения математики на основе теории множеств Кантора. Исторически это обстоятельство заставило обратиться к изучению аксио-матнч.  [3]

Одним из инвариантных свойств порядкового числа является инвариантность при взаимно однозначном отображении; свое значение она обретает лишь под влиянием анализа в теоретико-множественном построении математики . Именно это и есть единственное инвариантное свойство порядкового числа, которое можно сформулировать в самой математике. Факт инвариантности при взаимно однозначном отображении — единственное, что можно сформулировать внутри математики. Верить, что это как раз и есть критерий того, что ребенок усвоил понятие числа, — заблуждение. Едва ли можно сомневаться, что упор на применение количественного аспекта Исходит от Пиаже.  [4]

В известных учебниках подчеркивается, что N должно быть множеством; иногда это формулируется как аксиома. Однако для построения математики этого никак не достаточно. Нужно еще знать, что каждая счетная последовательность аа образует множество.  [5]

Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики . Другая традиционная идеализация — абстракция потенциальной осуществимости — приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики.  [6]

Было бы прекрасно, если бы нам удалось так построить всю математику, чтобы существование стало в ней столь же естественным и очевидным фактом, как и в окружающем нас мире. Весь вопрос в том, возможно ли осуществить такое построение математики и, в частности, вариационного исчисления.  [7]

Мы считаем, что сейчас еще рано судить о значимости и даже о применимости к реальному миру тех моделей, которые недавно появились, например, в квантовых полевых теориях. История теории струн ( которая, по нашему мнению, привела к построению очень красивой математики , ио на сегодняшний день не сумела доказать свою причастность к реальной действительности) показывает, что словосочетание приложения к физике как характеристику современных работ ( даже таких выдающихся ученых, как Атья и Виттен) не следует понимать слишком буквально.  [8]

Ныне считается само собой разумеющимся ( без особых доказательств), что теория множеств лежит в основе всей математики. Допустим, что это так; допустим, что именно так должно начинаться построение математики . Даже и тогда неверно, что так может строиться обучение математике. Если математика должна служить чему-то, то школьнику следует изучать алгебру и анализ. Теория множеств может помочь при этом, помочь существенно — и с этой точки зрения ее следует использовать для улучшения обучения математике. II классе и затем до IX или до X полностью забывается. Еще в Дубровникском проекте математику поделили на изолированные друг от друга области — одной из них оказалась теория множеств, которая нигде не применяется. Этот подход в использовании теории множеств был подвергнут резкой критике. Однако еще несколько лет назад появилась Современная алгебра для школьников, написанная одним — именитым математиком; первая ее половина содержала новейшую ( хотя и небезупречную) теорию множеств и абстрактную алгебру, в то время как вторая — несколько архаичную аналитическую геометрию в векторном изложении, вне всякой связи с современной первой половиной книги.  [9]

По-иному понятие множества трактуется при конструктивистском ( там оно является определяемым понятием) и формалистском построении математики ( см. примечание2) к § 2 гл.  [10]

В связи с этим естественны те ограничения, которые возникают при использовании для описания биологических систем аппарата стандартной математики, обычной в теоретической физике и химической кинетике. Подходы, которые положительно зарекомендовали себя в таких дисциплинах, как физика и химия, оказались не такими эффективными при описании сложных биологических явлений. Высказывается мнение, что для математической биологии потребуется построение новой математики .  [11]

Некоторые исследователи творчества Вронского попытались более доходчиво изложить его основные математические идеи. Первое такое изложение было сделано при жизни Вронского братом его жены — Александром С. В этой статье речь идет об основных философских принципах построения математики с точки зрения трех первичных алгоритмов Вронского.  [12]

Некоторые формалисты указывают, что методы интуиционистской элементарной арифметики выходят за пределы того, что они считают финитным ( см. Гильберт и Бернайс [ 1934, стр. Утверждается, что в интуиционистском употреблении отрицания сложных формул и импликаций, у которых в антецеденте стоит сложная формула ( например, формула всеобщности или другая импликация), содержится общее логическое понятие интуиционистского доказательства. Именно благодаря такому употреблению отрицания и импликации Брауэр и его последователи сумели пойти в построении конструктивистской математики дальше, чем предшественник Брауэра Кронекер.  [13]

Если только историческое событие, состоящее в том, что кочму-то удалось построить ( натуральное) число п с данным свойством Р, может дать право утверждать, что существует число с этим свойством, то альтернатива: или существует такое число, или все числа обладают противоположным свойством не — Р — не имеет под собой основания. Так как кванторы существует и все при обра — зовании математических утверждений нагромождаются друг на друга самыми разнообразными способами, брауэрова критика делает — почти все эти предложения бессмысленными, и. Брауэр — принялся за построение новой математики / которая не использует этого логического принципа. Я думаю, что критику Брауэра должен принять каждый, кто хочет придерживаться веры в то, что математические утверждения со держат нечто абсолютно достоверное-истину, основанную на очевидности. Оппонент Брауэра Гильберт во всяком случае молчаливо принял ее. Он пытался спасти классическую математику, превратив ее из системы осмысленных предложений в игру лишенных смысла формул и показав, что эта игра никогда не ведет к двум формулам1 F и не — / 7, которые несовместимы.  [14]

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Были предложены построения теории множеств, в которых понятие множества связано лишь такими ограничениями, исключающими образование слишком обширных множеств, какие необходимы для предупреждения известных антиномий. Ввиду того, что свободное пользование нашими понятиями при построении множеств согласно канторовскому определению приводит к крушению, употребление теоретико-множественных понятий регулируется аксиомами вроде тех, которым подчиняются точка и прямая в эвклидовой планиметрии. Френкель [1922, 1925], Сколем [1922-23, 1929], Нейман [1925, 1928], Бернайс [1937-54] и другие улучшили аксиоматическое рассмотрение множеств. На базе аксиоматической теории множеств можно обосновать анализ, и эта база является, пожалуй, простейшей базой, предложенной для построения существующей математики с тех пор, как были обнаружены парадоксы.  [15]

Эвклид (математик)

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» [1] , время расцвета — около 300 года до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. [2]

Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» ( Στοιχεῖα , в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других его сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. [3]

Содержание

Биография [ | ]

К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида (хотя следует принять во внимание, что Прокл жил спустя почти 800 лет после Евклида). Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был моложе Платоновского кружка, но старше Архимеда и Эратосфена, «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» [4] [5] .

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» [6] . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла — Евклид жил во времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона [7] . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар.

Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала» Аполлония. [8] Анонимная арабская рукопись XII века сообщает :

Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…

С именем Евклида также связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры), как науки [9] . В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространённая) что речь идёт о коллективном псевдониме группы александрийских учёных [10] .

«Начала» Евклида [ | ]

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Другие произведения Евклида [ | ]

Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные ( δεδομένα ) — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении ( περὶ διαιρέσεων ) — сохранилось частично и только в арабском переводе; даёт деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления ( φαινόμενα ) — приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика ( ὀπτικά ) — о прямолинейном распространении света.

По кратким описаниям известны:

  • Поризмы ( πορίσματα ) — об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения ( κωνικά );
  • Поверхностные места ( τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) — о свойствах конических сечений;
  • Псевдария ( ψευδαρία ) — об ошибках в геометрических доказательствах (математические софизмы);

Евклиду приписываются также:

  • Катоптрика ( κατοπτρικά ) — теория зеркал; сохранилась обработка Теона Александрийского;
  • Деление канона ( κατατομὴ κανόνος ) — трактат по элементарной теории музыки [11] .

Евклид и античная философия [ | ]

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

Псевдо-Евклид [ | ]

Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (лат.  Sectio canonis ). Традиция приписывать «Деление канона» Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинных рукописях «Гармоники» авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду, а также александрийскому математику Паппу. Генрих Мейбом ru de (1555—1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и вместе с «Делением канона» приписал их к трудам Евклида.

При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например, отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку содержит теоремы и доказательства.

После критической публикации «Гармоники» знаменитым немецким филологом Карлом Яном (1836—1899) этот трактат стали повсеместно приписывать Клеониду и датировать II в. н. э. В русском переводе (с комментариями) его впервые издал Г. А. Иванов (Москве, 1894). «Деление канона» ныне одна часть исследователей считает аутентичным сочинением Евклида [12] , а другая — анонимным сочинением в традициях Евклида [13] . Последние по времени русские переводы «Деления канона» опубликованы (в версии Порфирия) В. Г. Цыпиным и (в версии Боэция) С. Н. Лебедевым [14] . Критическое издание оригинального текста «Деления канона» выполнил в 1991 г. А.Барбера [15] .

Тексты и переводы [ | ]

Старые русские переводы [ | ]

  • Эвклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранные и в осмь книг чрез профессора мафематики А. Фархварсона сокращённые. / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1739. 284 стр.
  • Елементы геометрии, то есть первые основания науки о измерении протяжении, состоящие из осьми Евклидовых книг. / Пер. с франц. Н. Курганова. СПб., 1769. 288 стр.
  • Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 11-я и 12-я. / Пер. с греч. СПб., 1784. 370 стр.
    • 2-е изд. … к сим прилагаются книги 13-я и 14-я. 1789. 424 стр.

    Средневековые армянские переводы [ | ]

    В XI веке Григор Магистрос перевел с греческого на армянский «Начала» Евклида. Более обширный перевод Евклида сделан в позднем средневековье и приписывается автору XVII века Григору Кесараци.

    Евклида

    — научное произведение, написанное в 3 в. До н. Э., содержащее основы античной математики. Элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. «Н.» Е.- образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе к-рых все теории развиваются строго логически. «Н.» Е. Составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко изложенной в сочинениях Аристотеля. Сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в «Н.» Е. Имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметич. Алгоритмов.

    Вслед за определением основных геометрич. Понятий и объектов Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путем их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений. 1) через две точки можно провести прямую. 2) отрезок прямой можно неограниченно продолжить. 3) данным радиусом из данной точки можно провести окружность. 4) все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой). 5) если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше суммы двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с к-рой эта сумма меньше.

    Все постулаты (кроме 4-го, к-рый заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы оснований геометрии. Особенно интересна судьба 5-го постулата. Еще в древности математики пытались его доказать. Аналогичные попытки продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не имеет места. За постулатами в «Н.» Е. Приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. 1) равные одному и тому же равны между собой, 2) если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны, 3) если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны, 4) совмещающиеся друг с другом равны между собой, 5) целое больше части (в нек-рых списках «Н.» Е.

    К этому добавляют еще четыре аксиомы). «Н.» Е. Состоят из тринадцати книг (отделов или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. В книге II излагается т. Н. Геометрич. Алгебра, т. Е. Строится геометрич. Аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин — площадями. Алгебраич. Символика в «Н.» Е. Отсутствует. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. До н. Э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (4 в.

    До н. Э.). Она отличается особенной логич. Завершенностью и в основном эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснований учения о действительных числах. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга XII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII — IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования.

    Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. До н. Э.). В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греч. Математиками к «Н.» Е. Были присоединены книги XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Они часто и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

    Содержание их не представляет большого научного интереса. «Н.» Е. Получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и другие учепые опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. В кон. 8 — нач. 9 вв. Появляются переводы «Н.» Е. На арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского в 1-й четверти 12 в. Старинные списки «Н.» Е. Отличаются существенными разночтениями. Подлинный текст их точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. В переводе на латинский язык появилось в 1482 с чертежами на полях книги. Наилучшим считается издание Й. Хейберга (5 тт., 1883-88), в к-ром приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке имеются следующие переводы.

    И. Астарова — «Евклидовы елементы», сокращенные проф. А. Фархварсоном (8 кн., 1739, пер. Слатин.), Н. Курганова — «Евклидовы елементы геометрии» (8 кн., 1769, пер. С франц.), П. Суворова и В. Никитина — «Евклидовы стихии» (осьмкниг, 1-6, 11, 12. 1784, пер. С греч.), Ф. Петрушевского — «Эвклидовых начал восемь книг, а именно. Первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии» (1819, пер. С греч.), Ф. Петрушевского — «Эвклидовых начал три книги, а именно. Седьмая, осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел древних геометров» (1835, пер. С греч.), М. Е. Ващенко-Захарченко — «Начала Евклида» (1880), Д. Д. Мордухай-Болтовского — «Начала Евклида» (3 тт., 1948-50, пер. С греч.). По материалам одноименной статьи И.

    Г. Башмаковой и А. И. Маркушевича из БСЭ-2..

    если даны три семейства поверхностей, образующих триортогональную систему, то линия пересечения каждых двух поверхностей различных семейств будет линией кривизны для каждой из этих поверхностей. Напр., софокусные центральные поверхности 2-го порядка пересекаются по линиям кривизны. Д. Т. Названа по имени Ш. Дюпена, к-рому принадлежит ее первое доказательство [1]. Лит.:[1] Dupln С h., Developpements de geometrie, P., 1813. [2] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1..

    — поверхность, оба семейства линий кривизны к-рой состоят из окружностей, так что она является частным случаем каналовой поверхности. Обе полости эволюты Д. Ц. Вырождаются в кривые Г 1 и Г 2, являющиеся фокальными кривыми 2-го порядка. Различают Д. Ц. Трех типов. 1) Эволюты — эллипс и гипербола, радиус-вектор соответствующей Д. Ц. где 2) Эволюты — фокальные параболы, радиус-вектор. где 3) Эволюты — окружность и прямая, соответствующая Д. Ц.- тор. Д. Ц. Являются алгебраическими поверхно..

    — способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов (и вообще, двух элементов евклидова, кольца )или общей меры двух отрезков. Описан в геометрич. Форме в «Началах» Евклида (3 в. До н. Э.). Для случая положительных целых чисел этот способ состоит в следующем. Деление с остатком числа ана число b всегда приводит к результату a=nb+b1, где частное п- целое положительное число, а остаток b1 либо 0, либо положительное число, меньшее b, Производится последовательное д..

    о простых числах. Множество простых чисел является бесконечным («Начала» Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. Закон распределения простых чисел. С. М. Воронин.. ..

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.