Как получить расстояние в математике

  • автор:

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Найти расстояние в единичных отрезках между точками:

\[4)P( - \frac{2}{9})uK(\frac{5}{{12}});\]

\[5)E(3\frac{3}{8})uF( - 2\frac{1}{6}).\]

Чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, определим, какая из точек находится правее, и из координаты правого конца отрезка вычтем координату его левого конца.

Из двух точек на координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Для точек A(a) и B(b) это означает, что если b>a, то точка B на координатной прямой лежит правее точки A и расстояние между точками A и B равно

\[\left| {AB} \right| = b - a\]

1) Так как 3>11, то на координатной прямой точка B с координатой 3 лежит правее точки A с координатой -11. Следовательно, расстояние между точками A и B

\[\left| {AB} \right| = 3 - ( - 11) = 3 + 11 = 14.\]

2) -5,1>-7,2, поэтому на координатной прямой точка M(-5,1) лежит правее точки N(-7,2). Значит, расстояние между точками M и N равно

\[\left| {MN} \right| = - {\rm{5}},{\rm{1}} - ( - {\rm{7}},{\rm{2}}) = - {\rm{5}},{\rm{1 + 7}},{\rm{2 = 2}}{\rm{,1}}{\rm{.}}\]

3) Так как 0>-12, точка C (0) на координатной прямой лежит правее точки D(-12). Расстояние между точками C и D:

\[\left| {CD} \right| = 0 - ( - 12) = 0 + 12 = 12.\]

\[4)\frac{5}{{12}} > - \frac{2}{9},\]

поэтому точка K на координатной прямой расположена правее, чем точка P.

\[\left| {PK} \right| = \frac{5}{{12}} - ( - \frac{2}{9}) = \frac{{{5^{\backslash 3}}}}{{12}} + \frac{{{2^{\backslash 4}}}}{9} = \frac{{15 + 8}}{{36}} = \frac{{23}}{{36}}.\]

\[5)3\frac{3}{8} > - 2\frac{1}{6},\]

значит, точка E на координатной прямой находится справа от точки F. Поэтому длина отрезка EF, а значит, и расстояние между точками E и F

\[\left| {EF} \right| = 3\frac{3}{8} - ( - 2\frac{1}{6}) = 3\frac{{{3^{\backslash 3}}}}{8} + 2\frac{{{1^{\backslash 4}}}}{6} = 5\frac{{9 + 4}}{{24}} = 5\frac{{13}}{{24}}.\]

2 Comments

Для чего находить наибольшее число, если |a-b|=|b-a|?

Дмитрий, всё зависит от учебника. Если данную тему изучают после того, как ввели понятие модуля, то расстояния между точками на координатной прямой можно искать как модуль разности координат этих точек. В противном случае действуем, как описано выше.

Расстояние между городами

Города А, В и С находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Если машина находится на расстоянии 3 километра от города А, и на расстоянии 4 км от города В, то каким будет максимальное расстояние от машины до города С?

задан 10 Фев ’16 19:52

Если машина M находится между A и B, то AB=3+4=7, откуда BC=AB=7, и MC=MB+BC=4+7=11. Если машина не между A и B, то AB=1=BC. Здесь MC<=5, то есть меньше.

Мне понравилась задача. Я нарисовал правильный треугольник $%ABC$%, нарисовал окружности с центрами $%A$% и $%B$% и радиусами $%3$% и $%4$%, а дальше и не знал что делать.

@Роман83: похоже, я неправильно трактовал условие. Поскольку речь идёт о машине, я представил себе дорогу, где одинаковыми являются расстояния AB и BC. Если имелся в виду равносторонний треугольник, то имело смысл говорить не о машине (которая ассоциируется с дорогой), а о каком-то пункте D или типа того. Надо будет рассмотреть скорректированную версию.

1 ответ

Рассматриваем такую версию задачи. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной неизвестной длины. Даны расстояния AM=3, BM=4. Требуется найти максимальное значение для CM при подходящем выборе AB.

Введём систему координат, в которой начало O расположено посередине между A и B. При этом $%A(k;0)$%, $%B(-k;0)$%. Также $%C(0;k\sqrt3)$%. Пусть $%M(x,y)$%. Имеют место равенства $%(x-k)^2+y^2=9$% и $%(x+k)^2+y^2=16$%. Вычитая первое из второго, имеем $%4kx=7$%, то есть $%x=\frac7<4k>$%. Тогда $%y^2=16-(k+\frac7<4k>)^2=\frac<25>2-k^2-\frac<49><16k^2>$%. Максимум расстояния $%CM$% получится, если взять значение корня со знаком «минус», то есть положить $%y=-\sqrt<\frac<25>2-k^2-\frac<49><16k^2>>$%. Заметим, что $%x^2+y^2=\frac<25>2-k^2$%.

Квадрат расстояния будет равен $%x^2+(k\sqrt3-y)^2=x^2+y^2+3k^2-2ky\sqrt3=\frac<25>2+2k^2+2k\sqrt<3(\frac<25>2-k^2-\frac<49><16k^2>)>$%. Поэтому задача сводится к нахождению максимума функции $%2k^2+\sqrt<150k^2-12k^4-\frac<147>4>$%.

Вводя новую переменную $%x=k^2 > 0$%, решаем задачу для функции $%f(x)=2x+\sqrt<150x-12x^2-\frac<147>4>$%. Вычисления здесь довольно громоздкие, и я их полностью приводить не буду. Отмечу, что критической точкой будет $%x=\frac<37>4$%. Максимум функции будет равен $%\frac<73>2$%, а максимум квадрата расстояния будет равен $%\frac<25>2+\frac<73>2=49$%. Максимум расстояния при этом составит $%7$%.

Не знаю, такая ли трактовка условия имелась в виду, или же всё происходило на дороге, где всё достаточно просто. Но в такой версии задача выглядит достаточно интересной.

Как найти расстояние

Для решения данной задачи вспомним формулу вычисления расстояния. Расстояние равно произведению времени на скорость. s=v*t, где s — расстояние, v — скорость, t — время. Например: вычислим чему равна расстояние, зная, что автобус проходит расстояние со скоростью 40 км/ч за 2 часа.

s = 40 * 2 = 80 километров.

Для решения данного задания, вспомним, что такое расстояние и на примере покажем как можно его найти.

Расстояние в математике

Расстояние показывает степень удалённость объектов друг от друга. Для того, чтобы найти расстояние мы должны скорость умножить на время. Скоростью является физическая величина, которая показывает какое расстояние пройдёт объект за единицу времени.

  • s — расстояние.
  • v — скорость.
  • t — время.

Зная, чему равно время и скорость мы можем вычислить расстояние по формуле s = v * t. Расстояние измеряется в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах и т.д.

Как найти расстояние

На примере задачи покажем, как можно найти расстояние.

Задача: Турист шёл 5 часов со скоростью 5 км/ч. Вычислите какое расстояние прошел турист.

В данной задаче, время равно 5 часам, скорость равна 5 км/ч. Используя основную формулу s=v*t, где s — расстояние, v — скорость, t — время, вычислим расстояние, которое прошел турист.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.