Что является целью моделирования математики как науки

  • автор:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В НАУКЕ КАК СРЕДСТВО РАБОТЫ С ИНФОРМАЦИЕЙ

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует — тому нс опасен обман чувств.

Леонард Эйлер

Изучив материал главы 3, студенты должны:

  • • предмет, цели и задачи математического моделирования, его особенности;
  • • особенности и отличительные признаки функций, уравнений, неравенств как математических моделей;
  • • анализировать и интерпретировать информацию, представленную в виде функции, уравнения, неравенства;
  • • решать задачи, связанные с исследованием функции как математической модели реальной ситуации;
  • • выбирать необходимые методы построения и исследования математических моделей для реализации поставленных задач;
  • • методами построения и исследования математических моделей для реализации поставленных задач;
  • • навыками работы с математическими моделями, сконструированными в процессе исследования реальных ситуаций.

Математическое моделирование

Моделирование — общенаучное понятие, имеющее философский смысл.

Моделирование — это процесс создания, разработки моделей и их применения для познания новых свойств, новых качеств, новых адекватных по структуре или функциям объектов в определенной сфере деятельности человека.

В основе общепринятой классификации научных моделей лежит понимание модели как средства отображения, воспроизведения той или иной части действительности с целью ее более глубокого познания.

Отношение между моделью и оригиналом (отношение отображения или воспроизведения) варьируется в зависимости от способа воспроизведения, т.е. от тех средств, при помощи которых строится модель, либо от характера тех объектов, которые воспроизводятся в модели.

Классификация моделей представлена на рис. 3.1.

Классификация моделей

Рис. 3.1. Классификация моделей

Материальные, или вещественные, реальные модели — конкретные модели, представляющие собой некоторые материальные объекты или совокупности объектов, отражающие в той или иной мере свойства объекта моделирования. Они воплощены в материальных предметах, изготовленных из различных материалов. Сюда же относят так называемые живые модели, которые отобраны человеком в силу присущих им свойств, позволяющих в упрощенной форме имитировать изучаемый сложный процесс (например, специально выведенные породы крыс для физиологических опытов).

Среди этих моделей выделяют:

  • пространственно подобные модели — объекты, геометрически подобные своему прототипу;
  • физически подобные модели — модели, отражающие подобие происходящих в них и в объекте-прототипе основных физических процессов, сходство физической природы и тождественность законов движения;
  • математически подобные модели — материальные системы, не обладающие с объектом-прототипом одной и той же физической природой и не сохраняющие с ним физического или геометрического подобия, в которых происходят иные, чем в оригинале, физические процессы. Здесь отношением между моделью и реальным объектом выступает аналогия. Эта аналогия может быть структурной и функциональной. Те и другие могут быть описаны одинаковыми или подобными математическими выражениями.

Идеальные, или абстрактные, концептуальные модели подразделяются следующим образом:

  • образные модели представляют собой образы каких-либо реальных, хорошо известных явлений, доступных непосредственному наблюдению, некоторые свойства и отношения моделируемых явлений представлены в этих моделях в форме, доступной чувственности, образные модели являются наглядными образами элементов, структуры и поведения объектов, они часто фиксируются в виде рисунка, чертежа, схемы;
  • знаковые модели — такие, в которых отношения и свойства моделируемых явлений выражены при помощи определенных знаков; главная особенность таких моделей — полное и принципиальное отсутствие сходства между элементами модели и реального объекта; знаковая модель не обладает наглядностью в смысле сходства;
  • образно-знаковые модели — сочетание образной и знаковой моделей, занимающее промежуточное между ними положение.

Особое место занимают математическое моделирование и математическая модель.

Некоторые ученые отмечают, что вся математика вообще может быть сведена к двум типам деятельности: моделированию и систематизации.

По мнению крупнейших математиков, предметом математики являются модели.

«Математика — область человеческой деятельности (человеческого знания), в которой изучаются математические модели, т.е. логические структуры, у которых описан ряд отношений между элементами структуры» (Л. Д. Кудрявцев).

«Математика — наука о схемах моделей окружающего мира. Примером схем моделей служат математические понятия» (М. М. Постников).

Итак, поговорим о моделировании.

Можно сформулировать следующее, очень общее определение модели.

Модель — это такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Точного определения понятия математической модели не существует. Можно предложить описание характеристик математической модели (несколько десятков), весьма отличающихся друг от друга.

Приведем некоторые из них.

Математическая модель совокупность уравнений, неравенств, ограничений, математических формул, определяющих выходные свойства объекта в зависимости от входных свойств, параметров и начальных условий.

Математическая модель математическая структура, объекты которой трактуются как реальные «вещи» (понятия), а абстрактные отношения между ними — как конкретные связи между отношениями действительности. При математическом моделировании сущность явлений выражается в знаках.

Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с помощью математической символики.

Математическая модель система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы-оригинала.

Иногда трудно определить, какая из двух сущностей является вещыо, а какая — ее моделью (например, график функции и ее уравнение). При осуществлении выбора следует исходить из прагматических соображений: модель — это то, с чем проще работать, т.е. легче увидеть, запомнить, передать, записать, исследовать.

Математическое моделирование предполагает построение действующей математической модели, которая обладает характеристиками или свойствами рассматриваемого объекта.

Результатом исследования этой модели оказывается прогнозирование поведения реального объекта.

Математическая модель глубже вскрывает внутренние связи объекта, дает его точные количественные характеристики.

Математическая модель занимает особое место среди моделей, используемых в науке, так как является формальной конструкцией, такие модели позволяют выделить «в чистом виде» логическую структуру научной теории и количественные отношения между существенными переменными изучаемых явлений. Это позволяет проверить логическую состоятельность содержательной теории, исследовать ее структуру и построить на ее основе количественно определяющие утверждения относительно связи между фактами, а следовательно, создается возможность для экспериментальной проверки теории и ее практического использования. Таким образом, математическое моделирование — один из наиболее экономичных, точных и эффективных методов теоретического анализа, обобщающего формулирования и экспериментально контролируемого описания объективных свойств и отношений реальности.

Математическое моделирование используется:

  • • для численного экспериментирования или численного оценивания в условиях, когда проведение реального эксперимента связано с большими затратами;
  • • ознакомления с новыми объектами, их изучения и преобразования;
  • • проверки или демонстрации повой идеи или метода;
  • • как средство планирования и прогнозирования.

Когда в школе начинают изучать геометрию (планиметрию), школьники знакомятся с геометрией Евклида — моделью окружающего мира, в которой все объекты состоят из простейших геометрических фигур: точек, прямых или их частей и плоскостей или их частей.

Можно сформулировать некоторые требования к модели.

С одной стороны, модель должна быть достаточно полной, г.е. в ней должны быть учтены все факторы, от которых существенно зависит поведение исследуемого объекта.

С другой стороны, модель должна быть достаточно простой, чтобы возможно было установление зависимости между параметрами, входящими в нес.

В зависимости от математических понятий и методов, которые используются для моделирования изучаемых явлений реальности, математические модели подразделяются следующим образом:

  • • функциональные;
  • • стохастические (вероятностные);
  • • алгоритмические;
  • • логико-математические;
  • • информационные;
  • • топологические.

Количество математических понятий, которое приходится использовать для описания модели некоторого явления, может служить мерой сложности этого явления.

Целью моделирования как математической деятельности является выделение комплекса свойств, присущих данному объекту или явлению, и описание их средствами математики.

Часто модель описывается с помощью уравнений или неравенств. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математические структуры.

Система линейных уравнений

может рассматриваться как математическая модель точки пересечения графиков двух линейных функций (прямых) на плоскости, или линии пересечения двух плоскостей, параллельных оси OZ в пространстве, или, в экономике, являться моделью следующей ситуации: «Предприятие выпускает два вида продукции, используя сырье двух типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице (которая тоже является математической моделью данной ситуации): [1] [2]

Использование моделирования на уроках математики
статья по математике на тему

Бутенко Надежда Леонидовна

Статья расскрывает особенности изучения единиц длины и площади с использованием моделирования.

Скачать:

Вложение Размер
statya.doc 487 КБ

Предварительный просмотр:

Изучение величин является важной частью курса математики для младших школьников. Каждая изучаемая величина – это некоторое обобщенное свойство реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измерениях развивают пространственные представления, вооружают учащихся важными практическими навыками, которые широко применяются в жизни. Следовательно, изучение величин – это одно из средств связи обучения с жизнью. Если при изучении величин и их единиц в явной форме использовать моделирование, давать ученикам задания на построение моделей величин и их единиц, то можно избежать разного рода затруднений.

Моделирование формирует у детей умение планировать свою деятельность, умение находить главное в окружающей его действительности, умение ставить перед собой цели и находить различные пути их решения. А это основная цель обучения.

Таким образом, моделирование может выступать в различных функциях: как объект, как метод и как средство познания окружающего мира.

Следовательно, прием моделирования необходимо использовать на уроках математики в начальной школе, так как он влияет на формирование умственной деятельности и способствует развитию всех психологических процессов ребенка.

Модели и моделирование в обучении младших школьников

Младший школьный возраст является началом формирования учебных действий у детей. В тоже время моделирование – это действие, которое выносится за пределы младшего школьного возраста в дальнейшие виды деятельности человека и выходит на новый уровень своего развития. С помощью моделирования можно свести изучение сложного к простому, незнакомого – к знакомому, то есть сделать объект доступным для тщательного изучения. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. [№7]

Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.И.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б.Эльконина – В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве учебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. [№ 6,с..29-33]

Понятие «модель» и «моделирование» трактуется рядом авторов неоднозначно. Рассмотрим определения понятия «модель» и «моделирование».

В Большой Советской энциклопедии «Модель – образ (в том числе условный или мысленный – изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя». [№ 2, стр. 399.]

Штофф В.А. считает, «модель (от лат. modulus – мера) – это заместитель оригинала, обеспечивающий изучение некоторых его свойств. Она создается с целью получения и (или) хранения информации (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающей свойства, характеристики и связи оригинала, существенные для решения поставленной задачи» [№10]

По мнению П.В.Трусова, «модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты» [№ 3, с.18]

А. Б. Воронцов считает, что «модель – выступает как ‘инструмент’ совместной деятельности учащихся и учителя. Она отражает всеобщие отношения и связи внутри изучаемого объекта». [№4]

В.В.Давыдов, А.У Варданян считают, что модель создает язык общения, который, опредмечивая содержание объекта исследования, позволяет выявить его сущность.

Проанализировав приведенные определения, делаем вывод: в определениях В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и Большой Советской энциклопедии модель – это образ, а у А.Б. Воронцова модель – это «инструмент»; цели в явном и неявном виде выделены у П.В. Трусовой и В.А. Штоффа, а в энциклопедии и у А. Б. Воронцова цель не определена; у В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и в Большой Советской энциклопедии модель представлена в форме мысленного образа.

Из этих определений модели следует две ее характеристики: 1) модель – заместитель объекта изучения; 2) модель и изучаемый объект находятся в определенных отношениях соответствия (и в этом смысле модель отображает объект). Однако обе характеристики взаимосвязаны, потому что замещение одного объекта другим может происходить лишь благодаря соответствию их в каком-либо отношении. [№8,с.91]

Анализ психолого-педагогической литературы показал, что существует несколько классификаций. Мы рассмотрим отдельно каждую классификацию В.А. Штоффа и Л.М. Фридмана, затем сопоставим их.

Штофф В.А. классифицирует модели по различным основаниям. В практике начального обучения представляет интерес классификация моделей по форме представления.

В.А.Штофф выделяет модели: а) вещественные, воспроизводящие геометрические и физические свойства оригинала (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты и пр.); б) идеальные, передающие информацию о свойствах и состояниях объекта, процесса, явления, отражающие их взаимосвязь с внешним миром. Идеальные модели могут быть образными и знаковыми (чертежи, схемы, графики и др .) [№10, с.23]

В.А. Штофф и Л.М. Фридман классификацию модели исходно делят на две группы: материальные и нематериальные. В свою очередь, Л.М. Фридман вещественные модели подразделяет на: образные, знаковые и мысленные. У В.А. Штоффа мысленные модели выделены в отдельную группу (нематериальные), а образно-иконические и знаковые В.А. Штофф относит к вещественным (материальным) моделям.

В.А. Штофф классифицирует модели по форме представления, а Л.М. Фридман – по характеру средств, из которых они построены.

У Л.М. Фридмана материальные модели строятся из каких-либо вещественных материалов или живых существ. Их особенностью является то, что они существуют реально, объективно. В свою очередь материальные делятся на статические (неподвижные) и динамические (действующие, подвижные).

Рис. 1.3. Статическая модель Рис.1.4. Образная модель

Идеальные модели делятся на три вида: образные (иконические), знаковые (знаково-символические) и мысленные (воображаемые, умственные).

К образным моделям относят разного рода рисунки, карты, схемы, передающие в образной форме структуру или другие особенности моделируемых объектов.

Знаково-символические модели представляют собой запись каких-то особенностей, закономерностей оригинала с помощью знаков какого-либо искусственного языка (например, математического). К ним относятся разного рода математические уравнения, химические формулы.

Рис 1.5. Знаково-символические модели

Мысленные модели – это умственные (воображаемые) представления о каких-либо явлениях, процессах, предметах. Такая модель есть представление о свойствах моделируемого объекта. [№9]

По определению П.В.Трусова, В.В.Давыдова и Н.Г.Салминой моделирование – это деятельность, а у В.В.Давыдова, А.У Варданян – это метод познания.

П.В.Трусов относит к процессу моделирования построение и использование модели. [№ 3, с.18]

А В.В.Давыдов, А.У Варданян называют моделирование методом познания интересующих нас качеств объекта через модели. Это действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные, интересующие нас качества, свойства объекта или прототипа. [№5]

В.В.Давыдов, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман и др. рассматривают моделирование как знаково-символическую деятельность, заключающуюся в получении новой информации в процессе оперирования знаково-символическими средствами.

Метод моделирования, разработанный Д.Б. Элькониным, Л.А. Венгером, Н.А. Ветлугиной, Н.Н. Подьяковым, заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью разных схем, моделей, которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики (науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение детей общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.

Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. (№ 1, с.43-47)

Значит, модели и моделирование это не одно и то же. Выделяют разные модели: мысленные, образные, знаковые и т.д. Моделирование – это и метод познания, и знаково-символическая деятельность.

Использование моделей и моделирования – одно из требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования. Поэтому знакомство школьников с методами моделирования актуально для современной школы, особенно в условиях постоянно увеличивающегося объема учебной информации, появления новых ее носителей (электронные учебники, компьютерные энциклопедии) и средств доступа к ней. Учащимся необходимо осмыслить сам процесс познания, определить место в этом процессе такого познавательного приема, как моделирование.

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

Целью курса моделирование подъемно-транспортных систем является обучение основам моделирования подъемно-транспортных машин (ПТМ), что включает в себя составление математических моделей ПТМ, программную реализацию моделей на ЭВМ, а также получение, обработку и анализ результатов моделирования.

Для самостоятельного ознакомления с перечисленными вопросами рекомендуется следующая литература: Брауде В. И., Тер-Мхитаров М. С. «Системные методы расчета грузоподъемных машин», Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. «Моделирование системы машин», Рачков Е. В., Силиков Ю. В. «Подъемно — транспортные машины и механизмы», а также справочники и учебные пособия по численным методам вычислительной математики и использованию математического редактора MathCad.

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

Основные определения

Моделирование — это теоретико-экспериментальный метод познавательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов — моделей.

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на 4 группы: физические, математические, предметно-математические и комбинированные [, ].

Физическая модель – реальное воплощение тех свойств оригинала, которые интересует исследователя. Физические модели называют еще макетами, поэтому физическое моделирование называется макетированием.

Математическая модель – это формализованное описание системы (или процесса) с помощью некоторого абстрактного языка (математически), например, в виде графов, уравнений, алгоритмов, математических соответствий и пр.

Предметно-математические модели являются аналоговыми, т.е. при этом для моделирования используется принцип одинакового математического описания процессов, реального и протекающего в модели.

Комбинированные модели представляют собой сочетание математической или предметно-математической и физической модели. Они используются тогда, когда математическое описание одного из элементов исследуемой системы неизвестно или затруднительно, а также по условиям моделирования необходимо ввести в качестве элемента физическую модель (например, тренажер).

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью и исследование свойств оригинала на данной модели.

Системой называется объединение нескольких объектов (элементов), взаимосвязанных между собой, образующее определенную целостность.

Элемент — это относительно самостоятельная часть системы, рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое, предназначенная для реализацию некоторой функции.

Система обладает следующими, т.н. «системными» свойствами:

1. структурой, т.е. строго определенным порядком объединения элементов в группы;

2. целенаправленностью или функциональностью, т.е. наличием цели, для которой создана система;

3. эффективностью, способностью достигать цели с наименьшими затратами ресурсов;

4. устойчивостью, способностью сохранять характеристики своих свойств неизменными в определенных пределах при изменении внешних условий.

В настоящее время в технике для исследования работы машинных комплексов и машин используется понятие «человеко-машинной системы» (ЧМС), т.е. смешанной системы, составной частью которой наряду с техническими объектами является человек-оператор [, ]. Кроме того, ЧМС взаимодействует с окружающей средой. Таким образом, для моделирования ПТС необходимо рассматривать систему Человек-Машина-Среда, которая может быть отображена следующим графом (Рис. 1).

Р
ис. 1 Граф системы Человек-Машина-Среда.

Стрелками на графе изображены потоки энергии, вещества и информации, которыми обмениваются элементы системы.

Процессы, протекающие в технических системах, образованы совокупностью простейших операций. Операции – преобразования входных физических величин в выходные в низкоуровневом элементе системы (Рис. 2).

В каждом элементе системы (Ei) происходит преобразование входных воздействий (Xi) в выходные (Yi), причем выходные воздействия одного элемента могут являться входными следующего. Соединение элементов в структурную схему по характеру передачи воздействий происходит последовательно или параллельно.

Рис. 2 Структурная схема системы.

Подъемно-транспортными системами (ПТС), изучаемыми в рамках данного курса, будем называть системы, включающими в себя человека, окружающую среду и подъемно-транспортные машины (ПТМ).

ПТМ – это машины, предназначенные для перемещения груза на относительно небольшие расстояния без его переработки. ПТМ применяются для облегчения, ускорения, повышения эффективности перегрузочных работ.

ОБЪЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Система ЧМС

Итак, в качестве объекта моделирования выбрана система человек-ПТМ-окружающая среда.

Исследуя взаимосвязи между элементами ПТС (Рис. 3) целесообразно выделить несколько типов связей, которые представляют интерес с точки зрения моделирования ПТС. Это управляющие воздействия, информация, поступающая к оператору, воздействия окружающей среды на ПТМ.

1 — управляющие воздействия, 2 – воздействия работающей ПТМ на человека-оператора и информация, 3 – воздействия ПТМ на окружающую среду, 4 – внешние воздействия среды на ПТМ, 5 – воздействия окружающей среды на человека-оператора и информация.

Рассмотрим вершины графа по отдельности.

Наиболее сложна, с точки зрения моделирования, задача моделирования деятельности человека-оператора. Изучение роли человека оператора осуществляется методами инженерной психологии. Некоторые вопросы инженерной психологии можно найти в работах [] и []. Для моделирования работы ПТМ необходимо задать управляющие воздействия оператора. Задание управляющих воздействий в модели осуществляется следующими способами:

1. математической обработкой экспериментальных данных (массивы характеристик управляющих воздействий за некоторый промежуток работы ПТМ);

2. включением человека-оператора в модель;

3. математическими зависимостями, выражающими связь между управляющими воздействиями, характеристиками оператора и воздействиями на него, полученные путем обработки статистической информации об эксплуатации данного типа машин.

Вокружающей среде можно выделить две составляющих: технологическую и природную.

Технологическая среда представляет собой специально организованные условия, необходимые для выполнения ПТМ своих функций.

В воздействиях природной среды можно выделить энергетические и информационные. В первую группу входят силовые, кинематические, температурные, радиационные и биологические воздействия. Кинематические воздействия – это изменения кинематических связей, накладываемых средой на ПТМ. К температурным относятся воздействия температуры воздуха, к радиационным – действие солнечной радиации, к биологическим – воздействия биосферы на ПТМ: грибковые образования, действия насекомых, животных и птиц. Основной интерес в рамках курса представляют силовые воздействия, среди которых можно выделить следующие типы:

· гравитационные, нагрузки от веса элементов машины и груза;

· ветровые, нагрузки, вызванные давлением ветра на элементы ПТМ;

· нагрузки от снега и обледенения;

· нагрузки, вызванные качкой (для плавучих ПТМ);

· экстремальные, нагрузки, вызванные экстремальными ситуациями: землетрясениями, наводнениями, ударами и т.д.

Информация может поступать непосредственно к оператору (зрительная, акустическая) или, опосредованно, через приборы и датчики ПТМ.

Номенклатура ПТМ весьма разнообразна [, , , , ]. Они подразделяются по способу действия на два больших класса:

— грузоподъемные машины (ГПМ), машины циклического действия, в которых происходит последовательное повторение движений элементов машины для перемещения груза, называемое циклом;

— машины непрерывного транспорта (МНТ), ПТМ, обеспечивающие непрерывное перемещение грузов без остановки машины для их захвата и выгрузки.

Последние могут работать в полуавтоматическом и автоматическом режиме, что значительно упрощает моделирование управляющих воздействий.

По способу создания движущей силы МНТ бывают механическими, установками трубопроводного транспорта и гравитационными – спускными самотечными устройствами.

По типу движения ГПМ подразделяются на три группы:

— перемещающие груз в вертикальном и горизонтальном направлении (краны и перегружатели);

— перемещающие груз в вертикальном или близком к нему направлении (подъемники: лифты и вагоноопрокидыватели);

— перемещающие груз в горизонтальном или близком к нему наклонном направлении (погрузчики и т.д.).

Объект моделирования – ПТМ

ПТМ – система, состоящая из множества элементов. Это множество можно разбить на четыре группы. К ним относятся элементы металлоконструкции, приводы или механизмы, электрооборудование и прочее и вспомогательное оборудование (Рис. 8). В вою очередь, полученные группы содержат подгруппы, состоящие из подгрупп более низкого уровня, и т.д. Степень детализации зависит от целей разработчика.

Рис. 8 Структурная схема ПТМ (мостового крана)

Элементы металлоконструкции ПТМ – это балки, фермы, колонны. Они обладают объемом и массой, которая распределяется по объему элемента по некоторому закону (Рис. 9).

а) стрела портального крана б) мост мостового крана

Рис. 9 Металлоконструкции ПТМ.

Однако чаще всего они рассматриваются как стержневые системы, масса которых может быть как распределена по длине, так и сосредоточена в нескольких точках или точке, как правило, центре масс элемента. При этом инерционными характеристиками элементов модели являются приведенная масса или приведенный момент инерции. Приведение последних производится на основании равенства кинетических энергий реального элемента и элемента с приведенной массой и осуществляется по следующим зависимостям

или ,(13)

где mi и Ji – инерционные характеристики элементов конструкции, и – скорости движения элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно, и — скорости движения элемента с приведенной массой в поступательном и вращательном движении, соответственно.

Также элементы металлоконструкции обладают упругостью, т.е. способностью восстанавливать форму после снятия нагрузки, вызвавшей изменение формы элемента. Реальные элементы металлоконструкции обладают линейной упругостью по осям X, Y, Z и изгибной или крутильной упругостью в плоскостях XOY, XOZ, YOZ. Упругость элементов металлоконструкции характеризуется коэффициентом жесткости, угловым или линейным, в зависимости от вида деформации. Как правило, при моделировании учитывается тот тип упругости элемента, который соответствует наибольшей его деформации. При замене оригинала элементом модели последний характеризуется коэффициентом жесткости, определенным на основании равенства потенциальных энергий реального и моделируемого объектов по зависимостям

или ,(14)

где ci и – жесткостные характеристики элементов конструкции, xi и – деформации элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно, xпр и — деформации элемента с приведенным коэффициентом жесткости в поступательном и вращательном движении, соответственно.

При работе ПТМ элементы ее металлоконструкции совершают сложное пространственное движение. Учет упругости элементов кроме переносного и относительного движения элементов конструкции, соответствующих выполнению основных рабочих движений, предполагает рассмотрение упругих колебаний, возникающих в элементах конструкции из-за взаимодействия сил упругости и сил инерции.

Рассмотрим, к примеру, портальный кран (Рис. 10).

Рис. 10 Портальные перегрузочные краны.

Работая, кран совершает следующие движения: поворот, подъем/опускание груза и изменение вылета. Также возможно перемещение крана вдоль штабеля груза по крановым путям. Для увеличения рабочей площади, которую может обработать кран, применяются т.н. стрелы с рабочим изменением вылета. Качание стрелы происходит в интервале от минимального до максимального вылета. При этом обрабатываемая краном площадь увеличивается, но центры тяжести стреловой системы и груза поднимаются на некоторую величину, что требует дополнительных затрат энергии. Уменьшение или исключение этих затрат достигается при помощи уравновешивания веса груза и собственного веса стрелового устройства. Для уравновешивания веса груза используются специальные устройства, называющиеся уравновешенными стрелами. Уравновешивание веса груза состоит в обеспечении близкой к горизонтали траектории перемещения груза при изменении вылета стрелы. Для чего используются четырехзвенные стреловые системы, называемые шарнирно-сочлененные устройства (ШСУ). ШСУ бывают с прямым и профилированным хоботами, с гибкой и жесткой оттяжками. ШСУ с прямым хоботом и жесткой оттяжкой (Рис. 10) представляет собой шарнирный четырехзвенник Чебышева, предназначенный для преобразования вращательного движения входного звена в поступательное выходного. На большей части своей траектории конец выходного звена четырехзвенника перемещается по пологой кривой линии, близкой к горизонтали. Выполнение краном рабочих движений приводит к появлению раскачивания груза на канатах в плоскости вылета и из плоскости вылета стрелы. Если ограничиться плоскостью вылета и не учитывать упругость элементов стреловой системы, ее можно представить следующей расчетной схемой (Рис. 11), где реальные элементы металлоконструкции заменены двухопорными балками с сосредоточенными в центрах тяжести элементов массами.

Рис. 11 Расчетная схема стреловой системы.

На схеме представлены основные элементы стреловой системы: хобот, стрела, оттяжка, противовес, соединенный со стрелой тягой, и груз, подвешенный на канатах. На схеме обозначены: l1 — длина канатной подвески, размеры l2 и l3 — хобота, l4 — стрелы, l5 — оттяжки, l6 — тяги противовеса, l7, l8 и l9 -противовеса, l10 и l11 — положение точки крепления оттяжки, m1, m1, m1, m1 и m1 — массы груза, хобота, стрелы, оттяжки и противовеса, соответственно, l12, l13 и l14 — положения центров масс хобота, оттяжки и стрелы, соответственно. При изменении вылета происходит вращение перечисленных элементов около шарниров, обозначенных буквами O с индексами. Поскольку модель жесткая, т.е. все элементы абсолютно жесткие, то положения всех элементов, а, значит, и их скорости являются функциями вылета (скорости изменения вылета) или угла наклона стрелы (скорости изменения угла наклона стрелы).

Таким образом, при составлении расчетной схемы для жесткой модели стреловой системы нет необходимости рассматривать все элементы ШСУ по отдельности и можно ограничиться двухмассовой расчетной схемой с двумя обобщенными координатами (Рис. 12).

Рис. 12 Расчетная схема стреловой системы

На схеме обозначены следующие обобщенные координаты модели: ag — угол отклонения грузовых канатов от вертикали, as — угол наклона стрелы к горизонтали; приведенные массы: mg — масса груза и грузозахватного устройства, ms — приведенная к точке крепления тяги масса элементов стрелового устройства.

Массу m2 найдем по зависимости (13). Движение масс системы, изображенной на схеме (Рис. 11), является сложным. Для записи выражения для кинетической энергии целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом. Сначала определим декартовы координаты масс системы, приняв за начало координат в каждом случае наиболее удобную точку. Затем, дифференцируя по времени полученные координаты, найдем проекции скоростей масс на оси координат и, далее, квадраты абсолютных скоростей масс.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.