Что означает дисперсия в математике 9

  • автор:

Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание показывает, вокруг которой численной меры группируются значения случайной величины. Однако, необходимо также иметь возможность измерять изменчивость (вариативность) случайной величины относительно математического ожидания. Таким показателем изменчивости является математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием, а именно M [(X М [Х]) 2].

Определение. дисперсией случайной величины x называется число 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

или DX] = ± f (x t) o (*, — M [X]) 2.

На рис.3.26 приведены формулы для расчета распределения — статистической вероятности fx;) — а также показателей: математического ожидания М [Х] (ячейка Е9) и дисперсии D [X] (ячейка G9).

14 Предлагаем сравнить это определение с определением выборочной дисперсии

Рис. 3.26. Формулы расчета м [х] и 0 [Х] В таблице рис.3.27 показаны результаты расчета математического ожидания м [х] и дисперсии 0 [Х] по данным примера 3.14, а также гистограмму распределения м [х] = 4,00 (ячейка Е9) и дисперсия 0 [Х] = 1,00 (ячейка В9).

Математическое ожидание показывает, что значение случайной величины x группируются около значения 4,00, количество которых составляет 50% от общего количества. Однако, вокруг такого же значения могут группироваться и другие данные.

Рис. 3.27. Таблица и гистограмма распределения с А / [Х] = 4,00 и £> [Х] = 1,00

С рис.3.28 видно, что для математического ожиданиям [х] = 4,00 дисперсия £> [Х] = 2,32 является вдвое большей, чем по данным рис. 3.27. О значительной изменчивости свидетельствует и соответствующая гистограмма.

Рис. 3.28. Таблица и гистограмма распределения с М [Х] = 4,00 и £> [Х] = 2,32

Предлагаем сравнить таблицы и графики рис. 3.27 и 3.28 и сделать выводы. Свойства дисперсии случайной величины, которые постоянно используются в вероятностно статистические методы:

o если x — случайная величина, а и Ь — некоторые числа, В = ах + Ь, то

D [ax + b] = a 2 D [X] (3.31)

(это значит, что число а в качестве параметра масштаба существенно влияет на дисперсию, тогда как число b — параметр сдвига на значение дисперсии не влияет);

o если X 1, X 2, X n — попарно независимые случайные величины (то есть X t и X независимые для i Ф j), то дисперсия суммы равна сумме дисперсий

Соотношение по математического ожидания (3.25) и дисперсии (3.32) имеют важное значение при изучении выборочных свойств, поскольку результаты выборочных наблюдений или измерений рассматриваются в математической статистике, как реализации независимых случайных величин.

С дисперсией случайной величины тесно связан еще один показатель изменчивости — стандартное отклонение.

Определение. Стандартным отклонением случайной величины x называется неотъемлемое число

SD [X] = + VD [X]. (3.33)

Итак, стандартное отклонениях однозначно связано с дисперсией.

В теории и практике статистических исследований также важную роль играют специальные функции — так называемые моменты (начальные и центральные), которые являются характеристиками случайных величин.

Определение. Исходным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

K = M [X k]. 15 (3.34)

Определение. Центральным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины x от его математического ожидания:

m = m [x — M (X) Y, (3.35)

или m k = M [X — a] k, где a = M [X].

Для обозначения мометнив случайных величин используем те же буквы, что и для мометнив вариационного ряда, но с дополнительным знаком

Формулы для вычисления моментов дискретных (которые принимают значения Х и с вероятностью р) и непрерывных (с плотностью вероятности / х)) случайных

величин приведены в табл. 3.4.

Формулы для вычисления моментов случайных величин

Как и для вариационных строк моменты дискретных случайных величин имеют аналогичный смысл:

Первый начальный момент (¿= 1) случайной величины Хе ее математическим ожиданием:

1 = М [Х] = с. (3.36)

Второй центральный момент (¿= 2) определяет дисперсию 0 [Х] случайной величины x:

Ш г (хи — а) 2 г. и = ЦХ] = (Т 2. (3.37)

Третий центральный момент (¿= 3) характеризует асимметрию распределения случайной величины x:

Коэффициент асимметрии а распределения случайной величины x имеет вид:

X (хи «а) 3 Р и = А. (3.38)

Четвертый центральный момент (¿= 4) характеризует крутизну распределения случайной величины.

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., Например, разделы 4 и 5).

Как отмечалось выше, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первый — имеет отношение к практике (это показатели выборки), второй — базируется на теории (это показатели вероятностной модели). Соотношение этих показателей представлены в табл. 3.5.

Соотношение показателей эмпирической выборки и вероятностной модели

Таблица 3.5 продолжение

Итак, целью описательной статистики является превращение совокупности выборочных эмпирических данных на систему показателей — так называемых статистик, имеющие отношение к реально существующих объектов. Так, психологи, педагоги, другие специалисты работают в реальной сфере, объектами которой являются лица, группы лиц, коллективы, характеристиками для которых служат эмпирические показатели. Однако основная цель исследования — это получение нового знания, а знание существует в идеальной форме в виде характеристик теоретических моделей. Отсюда возникает проблема корректного перехода от эмпирических показателей реальных объектов к показателям теоретической модели. Этот переход требует анализа как общих методических подходов, так и строгих математических оснований. Принципиальную возможность здесь открывает закон больших чисел, теоретическое обоснование котором было предоставлено Якобом Бернулли (1654-1705), Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821-1894) и другими математиками XIX в.

1. Раскройте понятие случайной величины.

2. Чем отличаются дискретная и непрерывная случайные величины?

3. Из каких элементов состоит вероятностное пространство?

4. Как построить распределение дискретной случайной величины?

5. Как связаны между собой функция плотности Л (х) и функция распределения Б (х)?

6. Предоставьте геометрическую интерпретацию Интеграл Б (со) = | Л (х) сх = 1.

Дисперсия случайной величины

Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ, вокруг её математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.

называется средним квадратичным отклонением

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ, то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.

Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».

2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C 2

3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:

Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания.

Мы имеем:

4. Если величины ξ1 и ξ2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

Доказательство . Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть 1 = m1, 2 = m2, тогда.

Формула (5) доказана.

Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m) 2 , где m = Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.

Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения

x1 x2 .
p1 p2 .

Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:

Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:

если величина ξ дискретна, и

Пример 1 . Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b]. Воспользовавшись формулой (10) получим:

Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью

Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.

Пример 2 . Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.

Решение . Воспользовавшись представлением ξ в виде

ξ = ξ1 + ξ2 + ξn (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим

Дисперсия любой из величин ξi (i = 1,2, n) подсчитывается непосредственно:

Математическое ожидание. Дисперсия

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:

При неограниченном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины стремится к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание — одна из важнейших числовых характеристик случайной величины. Обозначим математическое ожидание через М (Х). Для случайной дискретной величины X, заданной значениями X1, X2, …, Xm и соответствующими этим значениям вероятностями р 1, р 2. рm имеет

Часто математическое ожидание называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое «среднее число», около которого группируются все значения случайной величины.

Вообще, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл математического ожидания характеризуется приближенным равенством = М (Х), т.е. математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m1 раз значение х 1 m2 раз значение х 2. mk раз значение хk причем

  • — есть относительная частота W1 значения X1,
  • — есть относительная частота W2 значения X2,
  • — есть относительная частота Wk значения Xk.

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события W1

Заменив относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Другой важной числовой характеристикой случайной величины X является ее дисперсия. Обозначим дисперсию через D (X).

Дисперсия характеризует степень рассеянности (квадрат отклонения) значений случайной величины относительно математического ожидания М (Х) случайной величины.

Отклонение — это разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

D(X) = М(Х-М(Х)) 2 ,

здесь М — обозначение математического ожидания. Пусть случайная величина X принимает значения х 1,x2,. xm соответственно с вероятностями p12. pm: Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (Х-М(Х)) 2 с вероятностью р есть случайная величина, которая принимает значения (х 1 -М(Х)) 2 ,2-М(Х)) 2 . (х 2-М(Х)) 2 соответственно с вероятностями p1,p2. pm. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной дискретной величины

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания

D (X) = M (Х 2 ) — (М (Х)) 2 .

Функциональная зависимость вероятности рк от хк называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

И функция, и случайная дискретная величина могут быть заданы тремя способами:

Графически (график, гистограмма);

Аналитически (уравнение). p = f(x).

Графическое представление закона распределения

Рисунок 1. Графическое представление закона распределения

Значение случайной величины хi, имеющее наибольшую вероятность, называется модой.

Итак, на оси абсцисс представлены ЗНАЧЕНИЯ случайной дискретной величины, расположенные в порядке возрастания; на оси ординат — ВЕРОЯТНОСТЬ, с которой в нашем опыте могут встретиться эти значения. Из данного графика видно, что, к примеру, значение х 2 — самое вероятное, а х 4 — наименее вероятное. случайная ожидание дисперсия распределение

Если опыты уже проведены, а значения получены, то уместнее говорить не о ВЕРОЯТНОСТИ появления значений, а о ЧАСТОТЕ (частости) их встречаемости в данном эксперименте. В этом случае на графике следовало бы заменить букву Р на букву f, которой обычно частота и обозначается.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.