Что такое остаток в математике

  • автор:

Остаток от деления

Остаток от деления в арифметике  — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Содержание

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если a,b\in \mathbb<N>, b\ne 0″ width=»» height=»» />, то <img src=, то есть </p>
<p>a» width=»» height=»» /> при делении на <img src=, остаток 1), так как 7=3*2 + 1

  • При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально 56 : 7 = 8, остаток 0), так как  56=7*8 + 0
  • При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально 13 : 10 = 1, остаток 3), так как  13=10*1 + 3
  • Обобщения

    Целые числа

    q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b

    даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение a = p b+qи неравенство 0\leqslant q<|b|.

    Вещественные числа

    Если два числа aи b(отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, aможет быть поделено на bбез остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

    если a,b\in \mathbb<R>, b\ne 0″ width=»» height=»» />, то <img src=

    a = p b+q» width=»» height=»» />, где

    </p>
<p>7<,>9 : 2<,>1 = 3″ width=»» height=»» /> (остаток 1,6)</p>
<h4>Многочлены </h4>
<p>При делении двух полиномов <img loading=и g(x)степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

    f(x) = q(x) g(x) + r(x) \quad, причём \quad \deg(r) < \deg(g).Пример 2x^2 + 4x + 5 =(2x + 2)(x + 1) + 3(здесь остатком является свободный член)

    См. также

    • Деление

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Полезное

    Смотреть что такое «Остаток от деления» в других словарях:

    остаток (от деления) — — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN remainder … Справочник технического переводчика

    остаток целочисленного деления — модуль — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы модуль EN modulo … Справочник технического переводчика

    Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления  число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда  ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… … Википедия

    БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Рn(х) степени п на двучлен х b, где b число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу в 1779 … Естествознание. Энциклопедический словарь

    Контрольное число — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

    Контрольная цифра — Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной суммы, добавляется (обычно в конец) длинных номеров с целью первичной проверки их правильности. Применяется с целью уменьшения вероятности ошибки при обработке таких номеров: машинном … Википедия

    Контрольное число — Эта статья требует доработки. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её. Надо разнести практическую информацию по соответствующим статьям. stas® 01:53, 14 сентября 2009 (MSD) Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной су … Бухгалтерская энциклопедия

    Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О … Википедия

    Пасхалия — собрание правил, на основании которых вычисляется день празднования Пасхи. На основании предписаний, изложенных в книге Исход, а также лунно солнечного календаря, окончательно принятого евреями в эпоху второго храма, еврейская Пасха празднуется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

    АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

    Деление с остатком

    Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

    Запомните! !

    Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

    Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

    Деление с остатком записывают так:

    деление с остатком

    Читается пример следующим образом:

    « 17 » разделить на « 3 » получится « 5 » и остаток « 2 ».

    Порядок решения примеров на деление с остатком.

      Находим наибольшее число до « 17 », которое делится на « 3 » без остатка. Это « 15 ».

    Запомните! !

    При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

    Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

    При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

    деление с остатком пример

    Методом подбора найдём на сколько надо умножить « 27 », чтобы получить ближайшее число к « 190 ».

    Попробуем умножить на « 6 ».

    расчёт в столбик

    Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

    рассчитаем остаток

    Остаток больше делителя. Это означает, что « 6 » как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на « 7 ».

    расчёт в столбик

    Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

    сравниваем остаток

    Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.

    Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.

    деление с остатком в стобик

    Как проверить деление с остатком

    1. Умножить неполное частное на делитель
    2. Прибавить к полученному результату остаток
    3. Сравнить полученный результат с делимым

    Проверим ответ нашего примера.

    1. 27 · 7 = 189
    2. 189 + 1 = 190
    3. 190 = 190

    Деление с остатком выполнено верно.

    Запомните! !

    Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

    • 6 : 10 = 0 ост (6)
    • 14 : 112 = 0 ост (14)
    • 31 : 45 = 0 ост (31)

    Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

    Деление чисел с остатком

    Деление — это разбиение целого на равные части.

    Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

    Теорема

    a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. 0 ⩽ r < |b|.

    Проверка деления с остатком

    Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

    Формула деления с остатком

    a = b * c + d,

    где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

    Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

    Пример

    Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

    В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

    Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

    • 7 * 2 + 1 = 15;
    • 2 * 7 + 1 = 15.

    Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

    Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

    Попрактикуемся в решении.

    Пример

    Разделить 14671 на 54.

    Выполним деление столбиком:

    пример деления

    Неполное частное равно 271, остаток — 37.

    Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

    Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

    Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

    В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

    Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

    Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

    Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

    Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

    • найти модули делимого и делителя;
    • разделить модуль делимого на модуль делителя
    • получить неполное частное и остаток;
    • записать число противоположное полученному.

    Пример

    Разделить 17 на −5 с остатком.

    Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

    Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

    Проверка : a = b * q + r, 17 = −5 * (−3) + 2.

    Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

    Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

    Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

    Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

    Чтобы получить неполное частное q при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток r будет вычисляться по формуле:

    r = a − b * q

    Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

    Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

    • найти модули делимого и делителя;
    • разделить по модулю;
    • записать противоположное данному число и вычесть 1;
    • использовать формулу для остатка r = a − b * q.

    Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

    Пример

    Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

    Разделим заданные числа по модулю.

    Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

    Так как получили 3, противоположное ему −3.

    Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

    Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, q = −4, тогда:

    r = a − b * q = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

    Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

    Проверка: a = b * q + r, −17 = 5 * (−4) + 3.

    Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

    Деление с остатком целых отрицательных чисел

    Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

    Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

    r = a − b * q

    Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

    Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

    • найти модули делимого и делителя;
    • разделить модуль делимого на модуль делителя;
    • получить неполное частное и остаток;
    • прибавить 1 к неполному частному;
    • вычислить остаток, исходя из формулы r = a − b * q.

    Пример

    Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

    Применим алгоритм для деления с остатком.

    Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

    Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

    Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим r = a − b * q = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

    Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

    Проверка: a = b * q + r, −17 = −5 * 4 + 3.

    Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

    Деление с остатком с помощью числового луча

    Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

    Пример 1

    Рассмотрим выражение: 10 : 3.

    Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

    деление с остатком с помощью лучя

    Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

    Пример 2

    Рассмотрим выражение: 11 : 3.

    Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

    Деление с остатком

    Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?

    Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.

    На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?

    Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.

    Как это записать?

    Как сделать проверку?

    Правило 1

    Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

    Правило 2

    При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

    остаток 3 < делимого 5

    остаток 2 < делимого 4

    Правило 3

    Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.

    Порядок решения

    1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.