Как решать уравнения по математике 6 класс

  • автор:

Решение уравнений

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Решение уравнений»

Представим себе такую историю…

– Саша, над чем это ты задумался? – спросил у друга Паша.

– Я разгадываю загадки, – ответил Саша. – И осталась последняя, которую разгадать не получается. Помоги мне, пожалуйста.

– Читай, – сказал Паша.

– Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, – зачитал загадку Саша.

– Так это же уравнение, – не задумываясь ответил Паша.

– Точно! – обрадовался Саша. – И мы умеем их решать.

– А давай мы поговорим с Мудряшом о решении уравнений. Может, он расскажет нам что-то новое, – предложил Паша.

– Давай, – согласился Саша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы уже вспомнили, что уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. И мы уже умеем решать уравнения. Например, уравнение вида , где – неизвестное число, и – известные числа, решается с помощью правила нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Решая уравнение , можем записать, что .

– Тогда , – выполнил вычитание Саша.

– Верно! – сказал Мудряш и продолжил, – уравнение вида , где – неизвестное число, и – известные числа, решается с помощью правила нахождения неизвестного множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Например, решая уравнение , мы можем записать, что .

– И , – снова посчитал Саша.

– А теперь посмотрите на следующее уравнение , – сказал Мудряш. – Для его решения мы не сможем применить ни одно из известных нам правил. На этом уроке мы с вами научимся решать подобные уравнения.

Очевидно, что если к двум равным числам прибавить одно и то же число, то снова получим два равных числа. То есть если , то . Это утверждение называют свойством равенства. Оно будет справедливо и для уравнения.

Запомните! Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Причём, если уравнение не имеет корней, то прибавляя к обеим частям уравнения одно и то же число или вычитая из обеих частей одно и то же число, мы всё равно получим уравнение, которое не имеет корней.

Давайте к левой и правой частям уравнения прибавим число : .

– Сумма противоположных чисел в левой части даст нам 0, – заметил Паша.

– Правильно, – сказал Мудряш. – Тогда можем записать, что . Посмотрите, слагаемое четыре «перепрыгнуло» из левой части уравнения в правую, при этом изменив свой знак на противоположный.

Запомните! Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Ребята, вернёмся к уравнению . Воспользуемся только что сформулированным утверждением и перенесём слагаемое из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный. И перенесём слагаемое из правой части уравнения в левую, также изменив его знак на противоположный. Таким образом, . Выполним преобразования в обеих частях уравнения: . Неизвестный множитель найдём, разделив произведение на известный множитель: . И получим, что .

Теперь вернёмся к уравнению . Умножим его правую и левую части на . Выполним вычисления и получим . То есть это уравнение можно решить и таким способом. Получается, что мы умножили обе части уравнения на одно и то же число и получили уравнение, которое имеет такой же корень, что и исходное.

Запомните! Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

– А почему мы не можем умножать на 0 обе части уравнения? – спросил Саша.

– Давайте вернёмся к уравнению , – начал объяснять Мудряш, – и умножим его левую и правую части на 0: . Очевидно, что это равенство выполняется при любом значении икс, то есть корнем является любое число. А уравнение имеет единственный корень – .

Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое: решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: первое уравнение . Перенесём в правую часть уравнения, а – в левую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и получим, что .

Второе уравнение . перенесём в правую часть уравнения, а – в левую, при этом не забудем изменить их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычитание в правой части. Получим, что . Тогда .

В третьем уравнении перенесём в правую часть уравнения, а перенесём в левую часть уравнения, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение на известный множитель . Нам надо разделить два числа с разными знаками, а значит, запишем частное модулей делимого и делителя со знаком «»: . Выполним деление в скобках и получим, что .

В последнем уравнении перенесём в правую часть уравнения, а – в левую часть уравнения, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним сложение в правой части. Получим: . Запишем в виде десятичной дроби . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение на известный множитель и получим .

Второе задание: решите уравнение:

а) ; б) ; в) .

Решение: первое уравнение . В первую очередь раскроем скобки в левой части уравнения. Для это воспользуемся распределительным свойством умножения . Умножим каждое слагаемое в скобках на : . Теперь перенесём слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: . Выполним вычисления в правой части и получим . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение на известный множитель . Делим два числа с разными знаками, а значит, запишем частное модулей делимого и делителя со знаком «»: . Выполним деление в скобках и в результате получим, что .

Второе уравнение . Так как перед скобками в левой части уравнения стоит знак «», то раскроем их, изменив знак каждого слагаемого на противоположный: . Теперь перенесём слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычисления в правой части. Тогда получим, что . Откуда .

И ещё одно уравнение . Раскроем первые скобки, воспользовавшись распределительным законом умножения. Умножим каждое слагаемое в этих скобках на два: .

Перед вторыми скобками стоит знак «», а значит, раскроем их, изменив знак каждого слагаемого на противоположный: . Слагаемые и перенесём из левой части уравнения в правую, изменив их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычисления в правой части. Тогда получим, что . Чтобы найти неизвестный множитель , мы разделим произведение на известный множитель и в результате получим .

Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса

Линейные уравнения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

Виды линейных уравнений

  1. Обыкновенные.
  2. С параметром.
  3. Высшей степени.

Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

Обыкновенные тождества

Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

Ученик решает уравнение

  1. Раскрыть скобки.
  2. Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
  3. Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
  4. Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
  5. Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.

Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

  1. 7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.
  2. 7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.
  3. 7t=15.
  4. t=2,5.
  5. 7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.

Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

Выражения с параметром

Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

Уравнения с некоторым параметром

  1. Записать равенство.
  2. Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
  3. Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
  4. Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
  5. Записать формулу определения корня.
  6. При необходимости подставить значение параметра.
  7. Проверить результат.

Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

  1. t-2+pt=0.
  2. Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
  3. (t+pt)=t (1+p)=2.
  4. p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
  5. t=2/(1+p).
  6. При p=0: t=2.
  7. 2−2+0*2=0.

Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) . Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

Понижение степени

Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.

Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:

Ребенок решает уравнение на доске

  1. v^2+2vw+w^2=(v+w)^2=(v+w)(v+w).
  2. v^2-2vw+w^2=(v-w)^2=(v-w)(v-w).
  3. v^2-w^2=(v-w)(v+w).

Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:

  1. Написать равенство с неизвестным.
  2. Выполнить анализ его структуры и сопоставить с одним из соотношений. Если операцию выполнить невозможно, то следует осуществить математические преобразования по вынесению общего множителя.
  3. Решить линейные уравнения.
  4. Произвести проверку, подставив корни или корень в исходное выражение в первом пункте методики.

Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:

  1. 3t^2-3=0.
  2. 3(t^2-1)=0.
  3. Сократить обе части на 3: t^2-1=0.
  4. Воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов): (t-1)(t+1)=0.
  5. У уравнения два корня: t1=1 и t2=-1.
  6. Подставить t1 и t2: 3*1-3=0 и 3*(-1)^2-3=0. Оба решения являются верными, поскольку не обращают искомое тождество в пустое множество.

Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

Системы линейного типа

Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

Системы линейного типа

  1. Записать систему уравнений.
  2. Выбрать наиболее простое тождество и выразить одну величину через другую.
  3. Подставить в любое выражение переменную, выраженную во втором пункте алгоритма.
  4. Раскрыть скобки и выполнить математические преобразования.
  5. Решить уравнение в четвертом пункте.
  6. Подставить корень, полученный на пятом шаге алгоритма, во 2 пункт.
  7. Найти вторую переменную.
  8. Записать результат.
  9. Выполнить проверку.

Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:

  1. 5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0.
  2. Простое выражение: 5t-2s=1. Выразить s: s=(5t-1)/2.
  3. (2t-s)(2t+s)=[4t/2-(5t-1)/2][4t/2+(5t-1)/2]=8t=8.
  4. 8t=8=>t=1.
  5. 5*1-2s=1. Отсюда s=2.
  6. 5*1-2*2=1=1 (равенство действительное).

В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:

Методика поиска решений

  1. Упростить все выражения, входящие в систему.
  2. Выразить одну величину через другую в каждом выражении. Следует учитывать, что искомая переменная должна быть обязательно без степени и коэффициентов.
  3. Построить отдельно для каждой функции специальные таблицы значений зависимости одной переменной от другой.
  4. Начертить прямоугольную систему координат.
  5. Отметить точки, исходя из таблицы, в системе координат.
  6. Соединить точки плавными линиями при помощи карандаша.
  7. Проделать аналогичные действия над другими тождествами (5 и 6).
  8. Определить точки пересечения функций и записать их координаты.

В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

42. Решение уравнений

Пример 1. Решим уравнение 4 • (х + 5) = 12.

Р е ш е н и е. По правилу отыскания неизвестного множителя имеем х + 5 = 12 : 4, т. е. х + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на Теперь легко найти значение х. Имеем х = 3 — 5, или х = -2.

  • Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 2. Решим уравнение 2х + 5 = 17.

Р е ш е н и е. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17 — 5, т. е. 2х = 12. Уравнения 2х + 5 = 17 и 2x = 17 — 5 имеют один и тот же корень 6, так как 2 • 6 + 5=17 и 2 • 6=17 — 5.

Уравнение 2х = 17 — 5 можно записать так: 2х = 17 + (-5). Видим, что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 3. Решим уравнение 5x = 2x + 6 (рис. 93).

Р е ш е н и е. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5x — 2х = 2х — 2х + 6. Но 2х — 2х = 0, значит, 5x — 2x = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2x перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. Решая дальше уравнение 5х — 2х = 6, получим Зx = 6 и х = 2.

  • Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Пример 4. Решим уравнение

Р е ш е н и е. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 36 = Зx. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зx из правой части в левую: x — Зx = -36. Упростим левую часть уравнения: -2x = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим x = 18.

Число 18 является корнем данного уравнения так как верно равенство

Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = b, где а ≠ 0.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни данного уравнения?
Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения?
Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Какие уравнения называют линейными?

1314. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

1315. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.