Пропорционально это как в математике

  • автор:

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ — (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

пропорциональный — См. стройный. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. пропорциональный соразмерный, соизмеримый; подходящий, стройный; гармоничный, нормальный, аналогический, рациональный,… … Словарь синонимов

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. 1. В математике: находящийся в отношениях пропорциональности (во 2 знач.). Пропорциональные величины. 2. Находящийся в определённом количественном соотношении, соответствии с чем н. Пропорциональная… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональный — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN proportional … Справочник технического переводчика

пропорциональный — 1) мат. находящийся в отношениях пропорциональности; 2) находящийся в определенном количественном отношении, соответствии с чем н.; 3) обладающий правильными пропорциями. ► лат. proportionalis «соразмерный». Заимств., вероятно, из… … Историко-этимологический словарь латинских заимствований

Пропорциональный — прил. 1. Обладающий правильными пропорциями [пропорция I 2.]; соразмерный. 2. Находящийся в определенном количественном соотношении с чем либо. отт. Основанный на соблюдении пропорций [пропорция I 2.] между чем либо. 3. Такой, который с… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

пропорциональный — пропорциональный, пропорциональная, пропорциональное, пропорциональные, пропорционального, пропорциональной, пропорционального, пропорциональных, пропорциональному, пропорциональной, пропорциональному, пропорциональным, пропорциональный,… … Формы слов

пропорциональный — чему. [У Пушкина] было небольшое лицо и прекрасная, пропорциональная лицу, голова, с негустыми кудрявыми волосами (Гончаров) … Словарь управления

пропорциональный — пропорцион альный; кратк. форма лен, льна … Русский орфографический словарь

пропорциональный — соразмерный, находящийся в определенном соотношении с какой нибудь величиной … Справочный коммерческий словарь

Пропорциональность (математика)

В математике , два различных количествах , как говорят, в связи с пропорциональности , мультипликативно , соединенного с константой ; то есть, когда либо их соотношение, либо их произведение дает константу. Величина этой константы называется коэффициентом пропорциональности или константой пропорциональности .

  • Если соотношение ( у / Икс ) двух переменных ( x и y ) равна константе ( k =
  • у / Икс ) , то переменная в числителе отношения ( y ) может быть произведением другой переменной и константы ( y = kx ) . В этом случае у называется прямо пропорционально к х с постоянной пропорциональности к . Эквивалентно можно написать x =
  • 1 / ky ; то есть x прямо пропорционален y с константой пропорциональности
  • 1 / k знак равно
  • Икс / у ) . Если термин пропорциональный связан с двумя переменными без дальнейших уточнений, обычно можно предположить прямую пропорциональность.
  • Если произведение двух переменных ( xy ) равно константе ( k = xy ) , то говорят, что они обратно пропорциональны друг другу с константой пропорциональности k . Эквивалентно, обе переменные прямо пропорциональны обратной величине соответствующей другой с константой пропорциональности k ( x = k
  • 1 / у и y = k
  • 1 / Икс ).

При наличии двух переменных х и у , у находится прямо пропорционально , чтобы х [1] , если существует ненулевая константа K такая , что

  • U + 221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО (HTML ∝ · ∝, &Proportional, &propto, &varpropto, &vprop )
  • U + 007E

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «

Ее также называют постоянной вариации или постоянной пропорциональности .

Прямая пропорциональность также можно рассматривать в качестве линейного уравнения в двух переменных с у -intercept из 0 и наклон от к . Это соответствует линейному росту .

Примеры

  • Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени, затраченному на путешествие, причем скорость является константой пропорциональности. из круга прямо пропорциональна его диаметр , с константой пропорциональности , равная П .
  • На карте достаточно маленькой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально прямому расстоянию между двумя местоположениями, представленными этими точками; константа пропорциональности — это масштаб карты. , действующая на небольшой объект с небольшой массой по близлежащей большой расширенной массы за счет силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как ускорение свободного падения .
  • Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности в этом втором законе Ньютона — это классическая масса объекта.

Концепции обратной пропорциональности можно противопоставить прямую пропорциональность . Рассмотрим две переменные, которые считаются «обратно пропорциональными» друг другу. Если все другие переменные остаются постоянными , величина или абсолютное значение одной обратно пропорциональной переменной уменьшается, если другая переменная увеличивается, в то время как их произведение (константа пропорциональности k ) всегда одинаково. Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.

Формально две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратной вариации , в обратной пропорции , в обратной пропорции ), если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) другой, или эквивалентно, если их произведение равно константа. [2] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k такая, что

График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно коэффициенту пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Понятия прямой и обратной пропорции приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенном луче, и константе обратной пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенной гиперболе.

Прямая и обратная пропорциональность — формулы, свойства и графики функций

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Прямая и обратная пропорциональность

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Прямая пропорциональность

Эта зависимость описывается следующей формулой:

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Прямая пропорциональность и ее график

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

402

Свойства функции прямой пропорциональности

Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

область определения, значений составляют все действительные числа;

возрастает при всех значениях x, если k > 0;

если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;

если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 — 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Обратная пропорциональность

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

401

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

402

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x.

Вот так выглядит таблица для данной функции:

403

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

404

Свойства функции обратной пропорциональности

Свойства функции обратной пропорц

области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

рисунок за один час машина проехала 50 км

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

рисунок за два чаас машина проехала 100 км

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

отношение пятидесяти км к одному часу

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

отношение ста км к двум часам

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения пятьдесят первыхи сто вторыхсоставляют пропорцию:

пять первых равно сто вторых

Это отношение можно прочитать следующим образом:

Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2. Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.

Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму

тридвать первых равно тридцать

Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

шестьдесят вторых равно тридцать

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

расстояние 80 км время 4 ч скорость 20 км в час рисунок 1

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

расстояние 80 км время 2 ч скорость 40 км в час рисунок 2

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью.

Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

расстояние 80 км время 8 ч скорость 20 км в час рисунок 3

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

расстояние 80 км время и скорость все рисунки

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

80 км произведение скорости и времени рисунок 5

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.